Tema W13 — Matemáticas Grado 11, Puerto Rico

Bloom: Remember

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Monserrate León de Irizarry en Cabo Rojo realiza una investigación guiada por Diego.

En una sucesión geométrica, el primer término es

a_1 = 3

y la razón común es

r = 2

. ¿Cuál es el valor del quinto término (

a_5

) de esta sucesión?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 48

A) 15Incorrecto. Se calculó de forma aritmética simple.
B) 24Incorrecto. Se calculó el cuarto término.
C) 48Correcto. Aplicando $a_5 = 3 \times 2^4 = 48$ .
D) 96Incorrecto. Se multiplicó por la potencia siguiente.

💡 Explicación

La fórmula para el término general es

a_n = a_1 r^{n-1}

. Para

a_5

:

a_5 = 3 \times 2^{5-1} = 3 \times 16 = 48

.

Bloom: Remember

Como parte de las olimpiades científicas en Río Piedras, Alondra aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Ramón Power y Giralt.

¿Cuál es la razón común (

r

) de la sucesión geométrica cuyos primeros términos son:

81, 27, 9, 3, \dots

?

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Respuesta correcta: D) $\frac{1}{3}$

A) $-3$ Incorrecto. Razón de signo y magnitud incorrectos.
B) $-\frac{1}{3}$ Incorrecto. Error de signo.
C) $3$ Incorrecto. Razón común invertida.
D) $\frac{1}{3}$ Correcto. Ya que $27 / 81 = 1/3$ .

💡 Explicación

La razón común se obtiene dividiendo un término por el anterior:

r = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}

.

Bloom: Understand

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Margarita Janer Palacios en Guaynabo realiza una investigación guiada por Alondra.

¿Cuál es la fórmula del término general (

a_n

) para la sucesión geométrica:

5, 10, 20, 40, \dots

?

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Respuesta correcta: D) $a_n = 5 \times 2^{n-1}$

A) $a_n = 10^{n-1}$ Incorrecto. Error en las bases de potencia.
B) $a_n = 2 \times 5^{n-1}$ Incorrecto. Se intercambiaron el primer término y la razón.
C) $a_n = 5 \times 2^n$ Incorrecto. Da un valor erróneo para el primer término.
D) $a_n = 5 \times 2^{n-1}$ Correcto. Primer término $a_1=5$ y razón $r=2$ .

💡 Explicación

Con

a_1 = 5

y

r = 2

, sustituimos en

a_n = a_1 r^{n-1}

:

a_n = 5 \times 2^{n-1}

.

Bloom: Understand

En Cayey, Valentina estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Miguel Meléndez Muñoz.

En una progresión geométrica, se sabe que el cuarto término es

a_4 = 40

y la razón común es

r = 2

. ¿Cuál es el valor del primer término (

a_1

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 5

A) 10Incorrecto. Se dividió por 4 en lugar de 8.
B) 2.5Incorrecto. Se dividió por 16 de forma errónea.
C) 5Correcto. Ya que $40 = a_1 \times 2^3 \implies a_1 = 5$ .
D) 8Incorrecto. Se restaron potencias de forma errónea.

💡 Explicación

Usamos la fórmula

a_4 = a_1 r^3

. Sustituyendo:

40 = a_1 \times 2^3 \implies 40 = a_1 \times 8 \implies a_1 = 5

.

Bloom: Understand

En Humacao, Carmen diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Patria Latorre Ramírez.

¿Cuál es la suma de los primeros 5 términos de la sucesión geométrica:

2, 6, 18, 54, \dots

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 242

A) 121Incorrecto. Se olvidó multiplicar por el primer término.
B) 240Incorrecto. Error al evaluar la potencia.
C) 242Correcto. Usando la fórmula de suma, $S_5 = 2(3^5 - 1)/(3-1) = 242$ .
D) 484Incorrecto. Se duplicó el valor debido a fallos aritméticos.

💡 Explicación

Usamos la fórmula

S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}

. Con

a_1 = 2

,

r = 3

y

n = 5

:

S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242

.

Bloom: Understand

En Trujillo Alto, Mariana estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Medardo Carazo.

Una población de insectos se duplica cada semana. Si la población inicial es de 100 insectos, ¿cuál será la población al cabo de 6 semanas?

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Respuesta correcta: D) 6,400

A) 1,200Incorrecto. Se multiplicó linealmente $100 \times 12$ .
B) 12,800Incorrecto. Se calculó para una semana extra.
C) 3,200Incorrecto. Se calculó para 5 semanas.
D) 6,400Correcto. $P(6) = 100 \times 2^6 = 6400$ .

💡 Explicación

El crecimiento forma una progresión geométrica donde

a_1 = 100

(para

t=0

), y

r = 2

. Tras 6 semanas, la población es

100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6,400

insectos.

Bloom: Apply

En Arecibo, Yaritza diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Luis Muñoz Marín.

Calcula la suma infinita de la progresión geométrica convergente:

12 + 4 + \frac{4}{3} + \frac{4}{9} + \dots

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Respuesta correcta: C) 18

A) 15Incorrecto. Error de cálculo en la división.
B) 16Incorrecto. Error al operar la fracción del denominador.
C) 18Correcto. Usando $S_\infty = a_1 / (1-r) = 12 / (1 - 1/3) = 18$ .
D) 24Incorrecto. Se duplicó la suma por un fallo algebraico.

💡 Explicación

Para una serie geométrica infinita convergente, la suma es

S = \frac{a_1}{1 - r}

. Identificamos

a_1 = 12

y

r = \frac{1}{3}

. Así:

S = \frac{12}{1 - 1/3} = \frac{12}{2/3} = 12 \times \frac{3}{2} = 18

.

Bloom: Apply

En Utuado, Andrey analiza un problema de modelación matemática para un proyecto de la Escuela Superior Luis Muñoz Rivera.

Encuentra la razón común (

r

) de una sucesión geométrica sabiendo que el primer término es

a_1 = 5

y el cuarto término es

a_4 = 135

.

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Respuesta correcta: B) 3

A) 27Incorrecto. Este representa $r^3$ , no $r$ .
B) 3Correcto. Ya que $135 = 5 \times r^3 \implies r^3 = 27 \implies r = 3$ .
C) 5Incorrecto. Razón de progresión errónea.
D) 9Incorrecto. Se dividió por 15 en lugar de sacar raíz cúbica.

💡 Explicación

De la relación

a_4 = a_1 r^3

, sustituimos:

135 = 5 r^3 \implies r^3 = 27

. Tomando raíz cúbica, obtenemos

r = 3

.

Bloom: Apply

En Arecibo, Ana diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Luis Muñoz Marín.

¿Qué término de la sucesión geométrica

2, 6, 18, 54, \dots

es igual a 1,458?

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Respuesta correcta: D) El séptimo término

A) El noveno términoIncorrecto. Valor erróneo por fallo al resolver el logaritmo.
B) El octavo términoIncorrecto. Se calculó para una potencia superior.
C) El sexto términoIncorrecto. Error de desfase de término.
D) El séptimo términoCorrecto. Ya que $1458 = 2 \times 3^{n-1} \implies 3^{n-1} = 729 = 3^6 \implies n = 7$ .

💡 Explicación

Usamos la fórmula del término general

a_n = a_1 r^{n-1}

. Sustituyendo:

1458 = 2 \times 3^{n-1} \implies 729 = 3^{n-1}

. Como

729 = 3^6

, igualamos exponentes:

n - 1 = 6 \implies n = 7

.

Bloom: Apply

En Yauco, Carmen estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Loaiza Cordero.

Encuentra la media geométrica positiva entre los números 4 y 36.

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Respuesta correcta: A) 12

A) 12Correcto. La media geométrica es $\sqrt{4 \times 36} = \sqrt{144} = 12$ .
B) 16Incorrecto. Se realizó una aproximación errónea.
C) 18Incorrecto. Error en el cálculo de la raíz cuadrada.
D) 20Incorrecto. Se calculó la media aritmética.

💡 Explicación

La media geométrica

G

entre dos números

a

y

b

se calcula como

G = \sqrt{a \cdot b}

. Sustituyendo los números 4 y 36:

G = \sqrt{4 \times 36} = \sqrt{144} = 12

.

Bloom: Apply

En Carolina, Sofía analiza un problema de modelación matemática para un proyecto de la Escuela Superior Ana Roque de Duprey.

Un depósito bancario rinde un 5% de interés anual. Si se depositan $1,000 USD originalmente, ¿cuál será el balance al cabo de 3 años si no se realizan retiros?

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Respuesta correcta: C) $1,157.63 USD

A) $1,050.00 USDIncorrecto. Balance de un solo año.
B) $1,150.00 USDIncorrecto. Se calculó mediante interés simple.
C) $1,157.63 USDCorrecto. Ya que $1000 \times (1.05)^3 = 1157.63$ .
D) $1,200.00 USDIncorrecto. Estimación incorrecta.

💡 Explicación

El balance anual sigue una progresión geométrica con

a_1 = 1000

y

r = 1.05

. El balance al cabo de 3 años es

1000 \times (1.05)^3 = 1000 \times 1.157625 \approx 1157.63 USD

.

Bloom: Apply

Como parte de las olimpiades científicas en Arecibo, Isabella aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Luis Muñoz Marín.

Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 12 metros. En cada rebote, alcanza exactamente las dos terceras partes (

\frac{2}{3}

) de la altura anterior. ¿Cuál es la distancia total vertical recorrida por la pelota hasta que se detiene?

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Respuesta correcta: D) 60 metros

A) 24 metrosIncorrecto. Error en la fórmula de suma infinita.
B) 36 metrosIncorrecto. Solo se calculó la suma de una dirección.
C) 48 metrosIncorrecto. No se contempló el primer tramo de caída simple.
D) 60 metrosCorrecto. Sumando bajadas y subidas se obtiene $12 + 2 \times (8 / (1 - 2/3)) = 60$ .

💡 Explicación

La caída inicial es de 12 m. Los rebotes siguientes ocurren en ambas direcciones (subir y bajar). Las alturas de rebote forman una serie infinita:

h_n = 12 \times (2/3)^n

. Distancia total:

D = 12 + 2 \times \sum_{n=1}^\infty 12(2/3)^n = 12 + 2 \times \left(\frac{8}{1 - 2/3}\right) = 12 + 2 \times 24 = 60

metros.

Bloom: Analyze

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Ponce High en Ponce realiza una investigación guiada por Andrey.

¿Para qué valor real positivo de

x

los términos

x

,

x+2

y

2x+1

forman una progresión geométrica en ese orden?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 4$

A) $x = 1$ Incorrecto. Error de factorización de la ecuación cuadrática.
B) $x = 2$ Incorrecto. No satisface la proporcionalidad de los términos.
C) $x = 3$ Incorrecto. No se cumple la igualdad de razones comunes.
D) $x = 4$ Correcto. Igualando razones $(x+2)/x = (2x+1)/(x+2) \implies x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + x \implies x^2 - 3x - 4 = 0$ , que da raíz positiva $x=4$ .

💡 Explicación

La razón común debe ser igual:

\frac{x+2}{x} = \frac{2x+1}{x+2}

. Multiplicando de forma cruzada:

(x+2)^2 = x(2x+1) \implies x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + x \implies x^2 - 3x - 4 = 0

. Factorizando:

(x-4)(x+1) = 0

. Como

x

debe ser positivo,

x = 4

.

Bloom: Analyze

En Río Piedras, Sofía diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Ramón Power y Giralt.

Calcula la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica con términos fraccionarios:

16, -8, 4, -2, \dots

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Respuesta correcta: C) $\frac{21}{2}$

A) $10$ Incorrecto. Se ignoraron los signos alternos.
B) $11$ Incorrecto. Error de cálculo en la fracción.
C) $\frac{21}{2}$ Correcto. Usando la fórmula de suma con $a_1=16$ y $r=-1/2$ .
D) $\frac{31}{2}$ Incorrecto. Error al operar con la razón negativa.

💡 Explicación

Tenemos

a_1 = 16

y

r = -1/2

. La suma de los primeros 6 términos es

S_6 = \frac{16(1 - (-1/2)^6)}{1 - (-1/2)} = \frac{16(1 - 1/64)}{3/2} = \frac{16 \times 63/64}{3/2} = \frac{63/4}{3/2} = \frac{63 \times 2}{12} = \frac{21}{2}

.

Bloom: Analyze

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Patria Latorre Ramírez de Humacao, Yaritza resuelve un ejercicio propuesto.

Una sustancia radiactiva se desintegra reduciendo su masa a la mitad cada 4 días. Si originalmente hay 80 gramos, ¿qué masa aproximada quedará tras transcurrir 16 días?

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Respuesta correcta: D) 5 gramos

A) 10 gramosIncorrecto. Se redujo a la mitad 3 veces.
B) 2.5 gramosIncorrecto. Se dividió por 32 de manera incorrecta.
C) 20 gramosIncorrecto. Se redujo a la mitad 2 veces.
D) 5 gramosCorrecto. Se redujo a la mitad 4 veces: $80 \times (1/2)^4 = 5$ .

💡 Explicación

El número de períodos de vida media transcurridos es

16 / 4 = 4

. La masa final se calcula mediante la progresión geométrica:

M = 80 \times (1/2)^4 = 80 \times \frac{1}{16} = 5

gramos.

Bloom: Analyze

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Dr. Santiago Veve Calzada en Fajardo realiza una investigación guiada por Mateo.

Determina el valor exacto de la siguiente suma infinita expresada en notación de sumatoria:

\sum_{n=1}^{\infty} 5 \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}

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Respuesta correcta: C) 20

A) $\frac{20}{3}$ Incorrecto. Error de cálculo en la fracción del denominador.
B) 15Incorrecto. Se multiplicó de forma incorrecta.
C) 20Correcto. Ya que $S_\infty = 5 / (1 - 3/4) = 20$ .
D) 25Incorrecto. Se aplicó mal la fórmula de la suma infinita.

💡 Explicación

La serie tiene primer término

a_1 = 5

(para

n=1

) y razón

r = 3/4

. La suma infinita es

S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{5}{1 - 3/4} = \frac{5}{1/4} = 20

.

Bloom: Evaluate

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Dr. Santiago Veve Calzada en Fajardo realiza una investigación guiada por Mariana.

En una sucesión geométrica, se sabe que la suma del segundo y el quinto término es

a_2 + a_5 = 30

y la suma del tercer y el sexto término es

a_3 + a_6 = 60

. Determina la razón común (

r

) de la sucesión.

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Respuesta correcta: C) 2

A) 0.5Incorrecto. Razón de progresión decreciente incorrecta.
B) 1.5Incorrecto. Se cometió un error en el despeje algebraico.
C) 2Correcto. Al dividir las ecuaciones resulta $r = 2$ .
D) 3Incorrecto. Razón que no satisface las igualdades.

💡 Explicación

Representamos los términos en función de

a_1

y

r

:

a_2 + a_5 = a_1 r + a_1 r^4 = a_1 r (1 + r^3) = 30

, y

a_3 + a_6 = a_1 r^2 + a_1 r^5 = a_1 r^2 (1 + r^3) = 60

. Dividiendo la segunda ecuación entre la primera:

\frac{a_1 r^2 (1 + r^3)}{a_1 r (1 + r^3)} = \frac{60}{30} \implies r = 2

.

Bloom: Evaluate

En Río Piedras, Andrey analiza un problema de modelación matemática para un proyecto de la Escuela Superior Ramón Power y Giralt.

Analiza una anualidad donde se depositan $1,000 USD al final de cada año en una cuenta que rinde un 8% de interés compuesto anual. Evalúa la cantidad acumulada justo después del quinto depósito usando la suma de series geométricas.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $5,866.60 USD

A) $5,000.00 USDIncorrecto. No se contemplaron los intereses devengados.
B) $5,400.00 USDIncorrecto. Estimación lineal básica.
C) $5,866.60 USDCorrecto. Aplicando la fórmula de valor futuro de una anualidad ordinaria con $n=5$ .
D) $6,210.00 USDIncorrecto. Error de cálculo en los factores acumulativos.

💡 Explicación

El valor futuro es la suma de los depósitos con sus intereses:

S = 1000 \sum_{k=0}^{4} (1.08)^k = 1000 \times \frac{(1.08)^5 - 1}{1.08 - 1} = 1000 \times \frac{1.469328 - 1}{0.08} \approx 1000 \times 5.8666 = 5866.60 USD

.

Bloom: Evaluate

En Caguas, Mateo diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior José Gautier Benítez.

Evalúa la convergencia de la serie geométrica:

\sum_{n=1}^{\infty} 3 (-0.8)^{n-1}

¿Cuál es su suma exacta si converge?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $\frac{5}{3}$

A) $-\frac{5}{3}$ Incorrecto. Error de signos en el resultado.
B) $15$ Incorrecto. Se ignoró el signo negativo de la razón en el denominador.
C) $\frac{5}{3}$ Correcto. Ya que $r = -0.8$ tiene valor absoluto menor que 1, converge a $3 / (1 - (-0.8)) = 3 / 1.8 = 5/3$ .
D) No convergeIncorrecto. Sí converge dado que $|r| = |-0.8| = 0.8 < 1$ .

💡 Explicación

La serie geométrica tiene

a_1 = 3

y

r = -0.8

. Dado que

|r| = 0.8 < 1

, la serie es convergente. La suma es

S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{3}{1 - (-0.8)} = \frac{3}{1.8} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}

.

Bloom: Evaluate

En Río Piedras, Mariana estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Ramón Power y Giralt.

Encuentra la fórmula para la suma de los primeros

n

términos de una progresión geométrica cuyo primer término es

a_1 = k

y cuya razón común es

r = -1

, considerando que

n

es un número entero par.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 0

A) $-k$ Incorrecto. Error de signo.
B) $2k$ Incorrecto. Valor que asume sumas acumulativas sin alternancia.
C) $k$ Incorrecto. Esta sería la suma si $n$ fuera impar.
D) 0Correcto. Al ser par, los términos alternados se cancelan en parejas, sumando exactamente 0.

💡 Explicación

La progresión tiene términos

k, -k, k, -k, \dots

Si sumamos un número par

n

de términos, cada par consecutivo de la forma

k + (-k)

suma 0. Al haber exactamente

n/2

parejas de términos, la suma total es

0 \times (n/2) = 0

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?