Numeros Reales Propiedades — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid repasa la clasificación de los números reales para su primer examen del curso.

¿Cuál de los siguientes conjuntos numéricos contiene exclusivamente números que NO pueden expresarse como el cociente de dos números enteros?

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Respuesta correcta: C) Números Irracionales

A) Números RacionalesLos números racionales son, por definición, aquellos que se pueden expresar como cociente de dos enteros.
B) Números EnterosLos enteros son un subconjunto de los racionales; por ejemplo, 5 se puede expresar como 5/1.
C) Números IrracionalesCorrecto. Los números irracionales tienen una expansión decimal infinita no periódica y no pueden ser representados como una fracción de enteros.
D) Números NaturalesLos naturales son enteros positivos, por lo que siempre pueden expresarse como una fracción con denominador 1.

💡 Explicación

Los números reales se dividen en racionales e irracionales. Los racionales incluyen a los naturales, enteros y fracciones exactas o periódicas. Los irracionales, como π o √2, son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no presenta un patrón repetitivo (periodo), lo que impide su representación como fracción

p/q

.

Bloom: Understand

En una papelería de Barcelona, se venden reglas de precisión que marcan milímetros como fracciones de metro.

Si una medida en la regla indica 0,125 metros, ¿cuál es su representación exacta en forma de fracción simplificada de metro?

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Respuesta correcta: C) 1/8

A) 1/41/4 equivale a 0,250, no a 0,125.
B) 1/51/5 equivale a 0,200.
C) 1/8Correcto. 0,125 es 125/1000, que al simplificar sucesivamente entre 5 llega a 1/8.
D) 1/101/10 equivale a 0,100.

💡 Explicación

Para convertir un decimal exacto a fracción, se escribe el número sin coma en el numerador y una potencia de 10 en el denominador.

0,125 = 125/1000

. Al dividir numerador y denominador por su máximo común divisor (125), obtenemos

1/8

.

Bloom: Remember

Durante una clase de Matemáticas I en Valencia, se discuten las propiedades de las operaciones básicas.

¿Cuál es el elemento neutro de la operación de multiplicación en el conjunto de los números reales?

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Respuesta correcta: B) 1

A) 0El 0 es el elemento neutro de la suma, no de la multiplicación. Cualquier número multiplicado por 0 da 0.
B) 1Correcto. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque cualquier número real $a$ multiplicado por 1 da como resultado el mismo número $a$ .
C) -1Multiplicar por -1 cambia el signo del número, no lo deja igual.
D) πNo es un elemento neutro; cambia el valor de cualquier número excepto el cero.

💡 Explicación

La propiedad del elemento neutro establece que existe un número único que, al operar con cualquier otro número real, no altera su valor. Para la suma es el 0 (

a+0=a

) y para la multiplicación es el 1 (

a \cdot 1 = a

).

Bloom: Understand

Un topógrafo en Sevilla mide una distancia que resulta ser exactamente la raíz cuadrada de 49 metros.

¿A qué subconjunto de los números reales pertenece el resultado de la medición

\sqrt{49}

?

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Respuesta correcta: B) Naturales

A) Irracionales $\sqrt{49}$ es exacta, por lo que no es irracional.
B) NaturalesCorrecto. $\sqrt{49} = 7$ , que es un número entero positivo y, por tanto, natural.
C) Racionales negativosEl resultado es 7, que es positivo.
D) Decimales periódicos purosEl resultado es un número entero, no tiene decimales periódicos.

💡 Explicación

Aunque el número está expresado bajo un radical, su valor es exacto (

\sqrt{49}=7

). Al ser un entero positivo, pertenece al conjunto de los números naturales (

\mathbb{N}

), y por extensión a los enteros, racionales y reales.

Bloom: Apply

Un excursionista en Sierra Nevada registra una temperatura de $-4^{\circ}\text{C}$ al amanecer. Si la temperatura baja $7^{\circ}\text{C}$ más debido al viento, ¿cuál es la nueva temperatura?

Realiza la operación necesaria con números reales con signo para hallar la temperatura final.

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Respuesta correcta: C) $-11^{\circ}\text{C}$

A) $3^{\circ}\text{C}$ Esto ocurriría si la temperatura subiera 7 grados en lugar de bajar.
B) $-3^{\circ}\text{C}$ Error al realizar la resta; se restó 4 de 7 en lugar de sumar las magnitudes negativas.
C) $-11^{\circ}\text{C}$ Correcto. $-4 - 7 = -11$ . Al bajar la temperatura desde un valor negativo, nos alejamos más del cero.
D) $11^{\circ}\text{C}$ El resultado debe ser negativo ya que se parte de un valor negativo y la temperatura sigue bajando.

💡 Explicación

Al sumar dos números con el mismo signo (en este caso, dos descensos), se suman sus valores absolutos (

4+7=11

) y se mantiene el signo común (negativo), resultando en

-11

.

Bloom: Apply

Una tienda de ropa en Bilbao aplica un descuento del $20\%$ a una chaqueta que cuesta $80$ €.

¿Cuál es el precio final de la chaqueta tras aplicar el descuento?

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Respuesta correcta: C) $64$ €

A) $16$ €Este es el valor del descuento ahorrado, no el precio final que se paga.
B) $60$ €Error de cálculo; el 20% de 80 es 16, no 20.
C) $64$ €Correcto. El 20% de 80 es 16. $80 - 16 = 64$ €.
D) $72$ €Esto sería un descuento del 10% únicamente.

💡 Explicación

Para hallar el precio con descuento, calculamos primero la cuantía de la rebaja:

80 \cdot 0,20 = 16

. Luego restamos esa cantidad al precio original:

80 - 16 = 64

. También se puede calcular directamente como el

80\%

del precio original (

80 \cdot 0,80 = 64

).

Bloom: Apply

Un cocinero en un restaurante de San Sebastián necesita triplicar una receta que usa $2/3$ de kilo de harina por ración.

¿Cuánta harina en total necesitará para preparar

5

raciones?

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Respuesta correcta: A) $10/3$ kg

A) $10/3$ kgCorrecto. Multiplicamos la cantidad por ración por el número de raciones: $(2/3) \cdot 5 = 10/3$ kg (aproximadamente 3,33 kg).
B) $7/3$ kgError al realizar la multiplicación; se sumó en lugar de multiplicar.
C) $2/15$ kgError al multiplicar; se multiplicó el denominador en lugar del numerador.
D) $3$ kgValor aproximado incorrecto; $10/3$ es un poco más de 3 kg.

💡 Explicación

La operación para hallar el total de ingredientes es la multiplicación de una fracción por un número entero. Multiplicamos el numerador por el entero y mantenemos el denominador:

(2/3) \cdot 5 = (2 \cdot 5) / 3 = 10/3

.

Bloom: Understand

Un arquitecto en Zaragoza dibuja una línea de longitud $L = \pi + 2$ metros.

¿Cuál es la naturaleza del número que representa la longitud total

L

?

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Respuesta correcta: C) Es un número irracional.

A) Es un número natural.Los naturales son enteros positivos; este número tiene infinitos decimales.
B) Es un número racional periódico.Al sumar un racional (2) y un irracional (π), el resultado es siempre irracional.
C) Es un número irracional.Correcto. La suma de un número racional y uno irracional produce un número irracional con expansión decimal infinita no periódica.
D) Es el número entero 5.π es aproximadamente 3,1415..., por lo que la suma es 5,1415..., no 5 exacto.

💡 Explicación

Una propiedad fundamental de los números reales es que la suma de un número racional (como el 2) y un número irracional (como π) da como resultado un número irracional. Esto se debe a que la parte decimal infinita no periódica del irracional persiste en el resultado.

Bloom: Apply

En un laboratorio químico en Tarragona, se mezclan dos soluciones. Una tiene un volumen de $15,45$ ml y la otra $12,7$ ml.

¿Cuál es el volumen total de la mezcla expresado con la precisión adecuada?

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Respuesta correcta: B) $28,15$ ml

A) $27,15$ mlError en la suma de las décimas y centésimas.
B) $28,15$ mlCorrecto. $15,45 + 12,70 = 28,15$ .
C) $28,25$ mlError de cálculo al llevar el acarreo de la suma.
D) $27,52$ mlError al alinear las comas decimales durante la suma.

💡 Explicación

Para sumar números decimales, es crucial alinear las comas decimales para sumar correctamente las décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc.

15,45 + 12,70

(añadimos un cero para igualar cifras) da como resultado

28,15

.

Bloom: Apply

Un inversor en la Bolsa de Madrid analiza una acción que sube un $10\%$ su valor y al día siguiente baja un $10\%$ respecto al nuevo precio.

Si la acción valía inicialmente

100

€, ¿cuál es su valor tras estos dos movimientos?

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Respuesta correcta: B) $99$ €

A) $100$ €Error común. La bajada del 10% se aplica sobre 110, no sobre los 100 originales.
B) $99$ €Correcto. $100 + 10\% = 110$ . El $10\%$ de $110$ es $11$ . $110 - 11 = 99$ .
C) $110$ €Este es solo el valor tras la primera subida.
D) $90$ €Este sería el valor si solo hubiera bajado un 10% desde el inicio.

💡 Explicación

Los porcentajes consecutivos no son aditivos. Una subida del

10\%

sobre

100

sitúa el precio en

110

. La bajada posterior del

10\%

se calcula sobre esos

110

, restando

11

€, lo que resulta en

99

€. En términos multiplicativos:

100 \cdot 1,1 \cdot 0,9 = 100 \cdot 0,99 = 99

.

Bloom: Analyze

Un matemático estudia la propiedad de valor absoluto para definir distancias en la recta real.

¿Para qué valores de

x

se cumple la igualdad

|x - 5| = 3

?

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Respuesta correcta: C) $x = 8$ y $x = 2$

A) Solo $x = 8$ Aunque 8 es una solución, el valor absoluto permite que el interior sea negativo, dando otra solución.
B) Solo $x = 2$ 2 es una solución, pero falta la otra posible ubicación en la recta.
C) $x = 8$ y $x = 2$ Correcto. $x-5=3 \Rightarrow x=8$ y $x-5=-3 \Rightarrow x=2$ . Ambas distan 3 unidades del 5.
D) $x = -8$ y $x = -2$ Estos valores darían distancias de 13 y 7 unidades respecto al 5, no 3.

💡 Explicación

La ecuación

|A| = b

se descompone en dos casos:

A = b

y

A = -b

. Aplicado aquí:

x-5=3

(que da

x=8

) y

x-5=-3

(que da

x=2

). Geométricamente, buscamos los puntos que están a una distancia de 3 unidades del número 5 en la recta real.

Bloom: Analyze

En un examen de acceso a la universidad, se pide simplificar expresiones con potencias de base real.

Simplifica la siguiente expresión:

\frac{a^3 \cdot (a^2)^4}{a^{12}}

, suponiendo

a \neq 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $1/a$

A) $a^3$ Error al simplificar; el exponente resultante en el numerador es mayor.
B) $a^{-5}$ Error de cálculo en la reducción.
C) $1/a$ Correcto. Numerador: $a^3 \cdot a^8 = a^{11}$ . División: $a^{11}/a^{12} = a^{11-12} = a^{-1} = 1/a$ .
D) $a^7$ Error al aplicar la potencia de una potencia (se sumó en lugar de multiplicar los exponentes).

💡 Explicación

Aplicamos las leyes de los exponentes: 1. Potencia de una potencia:

(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8

. 2. Producto de potencias:

a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}

. 3. Cociente de potencias:

a^{11} / a^{12} = a^{11-12} = a^{-1}

, que equivale a

1/a

.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Asturias estudia la propiedad de tricotomía y las desigualdades al multiplicar por números negativos.

Si tenemos la desigualdad

-2x < 10

, ¿cuál es el conjunto solución correcto para

x

?

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Respuesta correcta: B) $x > -5$

A) $x < -5$ Error al no invertir el sentido de la desigualdad al dividir por un número negativo.
B) $x > -5$ Correcto. Al dividir o multiplicar ambos miembros por un número negativo ( $-2$ ), el sentido de la desigualdad debe invertirse.
C) $x > 5$ Error de signo al realizar la división de 10 entre -2.
D) $x < 5$ Múltiples errores de signo y de sentido de la desigualdad.

💡 Explicación

Una de las propiedades críticas de los números reales es que al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte (de

<

a

>

o viceversa). Dividiendo por

-2

:

x > 10 / (-2)

, lo que da

x > -5

.

Bloom: Apply

Un joyero en Córdoba mezcla dos aleaciones de oro. Una es de $18$ quilates (pureza $0,75$ ) y otra de $24$ quilates (pureza $1,00$ ).

Si mezcla

100

g de oro de

18

quilates con

100

g de oro de

24

quilates, ¿cuál es la pureza media de la mezcla resultante?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $0,875$

A) $0,750$ Esta es la pureza de la parte menos pura; la mezcla debe ser superior.
B) $0,875$ Correcto. $(0,75 + 1,00) / 2 = 1,75 / 2 = 0,875$ .
C) $0,825$ Error en el cálculo del promedio aritmético de las purezas.
D) $0,900$ Valor por encima de la media real de la mezcla.

💡 Explicación

Al mezclar cantidades iguales de dos sustancias, la pureza final es el promedio aritmético de las purezas individuales. Calculamos

(0,75 + 1,00) / 2 = 0,875

. Esta pureza corresponde a

21

quilates.

Bloom: Analyze

Un estudiante investiga la propiedad de densidad de los números racionales en el intervalo $[0, 1]$ .

¿Cuál de los siguientes números racionales se encuentra exactamente a la mitad de la distancia entre

1/3

y

2/3

?

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Respuesta correcta: B) $1/2$

A) $1/4$ 1/4 es menor que 1/3, por lo que está fuera del rango central.
B) $1/2$ Correcto. El punto medio es el promedio: $(1/3 + 2/3) / 2 = (3/3) / 2 = 1/2$ .
C) $3/4$ 3/4 es mayor que 2/3.
D) $2/5$ Aunque está entre ambos, no es el punto medio exacto (0,4 frente a 0,5).

💡 Explicación

Para encontrar el número real que está justo en medio de otros dos, calculamos su promedio: sumamos ambos valores y dividimos entre 2.

1/3 + 2/3 = 1

. Dividiendo entre 2 obtenemos

1/2

.

Bloom: Evaluate

Se plantea un dilema lógico sobre la propiedad de clausura o cierre en diferentes conjuntos numéricos.

¿Bajo qué operación el conjunto de los números naturales (

\mathbb{N}

) NO cumple la propiedad de cierre?

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Respuesta correcta: B) Resta

A) SumaLa suma de dos naturales siempre es un número natural.
B) RestaCorrecto. Si restamos un natural mayor de uno menor (ej. 3 - 5), el resultado es -2, que no pertenece a los naturales.
C) MultiplicaciónEl producto de dos naturales siempre es un número natural.
D) Potenciación con exponente naturalUn natural elevado a otro natural siempre produce un número natural.

💡 Explicación

La propiedad de cierre establece que el resultado de una operación debe pertenecer al mismo conjunto que los operando. En los naturales, la resta no siempre es posible dentro del conjunto (si el sustraendo es mayor que el minuendo), lo que obligó históricamente a la creación de los números enteros.

Bloom: Analyze

Un ingeniero en telecomunicaciones en Málaga necesita simplificar una expresión que involucra potencias de base decimal para un algoritmo.

Calcula el valor simplificado de la expresión:

2^{-3} + (0,5)^2

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $0,375$

A) $0,125$ Este es solo el valor de 2^-3; falta sumar la otra parte.
B) $0,250$ Este es solo el valor de (0,5)^2; falta la primera parte.
C) $0,375$ Correcto. $2^{-3} = 1/8 = 0,125$ . $(0,5)^2 = 0,25$ . $0,125 + 0,25 = 0,375$ .
D) $0,500$ Error en el cálculo de la potencia negativa o la suma decimal.

💡 Explicación

Resolvemos cada término por separado. Una potencia negativa indica el recíproco:

2^{-3} = 1/2^3 = 1/8 = 0,125

. El segundo término es el cuadrado de una fracción:

(0,5)^2 = 0,25

. Sumando ambos:

0,125 + 0,250 = 0,375

. En fracciones sería

1/8 + 1/4 = 3/8

.

Bloom: Evaluate

Se presenta una operación combinada que requiere estricto cumplimiento de la jerarquía de operaciones en el campo de los reales.

Halla el resultado de:

10 - [ 2 \cdot (3 - 5)^2 - \sqrt{16} ]

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $6$

A) $10$ Error al evaluar el interior del corchete; no se cancelan los términos.
B) $6$ Correcto. $(3-5)^2 = 4$ ; $2 \cdot 4 = 8$ ; $\sqrt{16} = 4$ ; corchete: $8-4=4$ . Final: $10-4=6$ .
C) $2$ Error de signo al restar el valor del corchete.
D) $14$ Error al tratar la resta del corchete como una suma.

💡 Explicación

Aplicamos la jerarquía: 1. Paréntesis:

3 - 5 = -2

. 2. Potencia:

(-2)^2 = 4

. 3. Raíz:

\sqrt{16} = 4

. 4. Multiplicación dentro del corchete:

2 \cdot 4 = 8

. 5. Resta dentro del corchete:

8 - 4 = 4

. 6. Operación final fuera:

10 - 4 = 6

.

Bloom: Analyze

Un programador analiza el error de redondeo al representar el número decimal periódico $0,666$ ... como una fracción.

¿Cuál es la fracción irreducible que representa exactamente al número decimal periódico

0,666

...?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $2/3$

A) $6/10$ Esto es 0,6 (decimal exacto), no periódico.
B) $6/99$ Esto representaría a 0,060606...
C) $2/3$ Correcto. La fracción es $6/9$ , que simplificada entre 3 resulta en 2/3.
D) $1/3$ 1/3 representa a 0,333..., la mitad del valor solicitado.

💡 Explicación

Para convertir un decimal periódico puro a fracción, ponemos el periodo (

6

) en el numerador y tantos nueves como cifras tenga el periodo en el denominador (

9

). Obtenemos

6/9

. Dividiendo ambos por su máximo común divisor (3), llegamos a la fracción irreducible

2/3

.

Bloom: Evaluate

Un estudiante reflexiona sobre los límites de los conjuntos numéricos y la existencia de raíces de números negativos.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los números reales es INCORRECTA?

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Respuesta correcta: D) La raíz cuadrada de cualquier número real es siempre otro número real.

A) Todo número racional es también un número real.Afirmación correcta; los reales engloban a los racionales.
B) El producto de dos números irracionales puede ser un número racional.Afirmación correcta; por ejemplo, √2 · √2 = 2.
C) Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales.Afirmación correcta; es el axioma de Cantor-Dedekind.
D) La raíz cuadrada de cualquier número real es siempre otro número real.Correcto, esta es la afirmación INCORRECTA. Las raíces cuadradas de números negativos no son reales (son imaginarias).

💡 Explicación

El conjunto de los números reales no es algebraicamente cerrado porque no contiene las soluciones a ecuaciones como

x^2 + 1 = 0

. La raíz cuadrada de un número negativo (como

\sqrt{-4}

) no existe dentro del campo de los reales, lo que requiere la extensión al conjunto de los números complejos (

\mathbb{C}

).

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?