Potencias Raices — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante de 1º de Bachillerato en Valencia repasa las propiedades básicas de las potencias antes de entrar en temas de análisis.

¿Cuál es el resultado de la operación

a^m \cdot a^n

para cualquier número real

a \neq 0

?

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Respuesta correcta: C) $a^{m + n}$

A) $a^{m \cdot n}$ Esta es la propiedad de la potencia de una potencia, no del producto de potencias de la misma base.
B) $a^{m - n}$ Esta propiedad corresponde a la división de potencias de la misma base.
C) $a^{m + n}$ Correcto. Al multiplicar potencias de la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
D) $(2a)^{m+n}$ La base no se multiplica; se mantiene constante.

💡 Explicación

El producto de potencias de la misma base es una de las leyes fundamentales de los exponentes. Indica que la base se mantiene igual y el nuevo exponente es la suma de los exponentes originales, basándose en la definición de potencia como multiplicación reiterada.

Bloom: Understand

En un taller de diseño en Barcelona, se utilizan escalas de potencias para representar crecimientos exponenciales de superficies.

¿Cómo se expresa la raíz

n

-ésima de un número

a

en forma de potencia?

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Respuesta correcta: B) $a^{1/n}$

A) $a^n$ Esto es una potencia de exponente natural, no una raíz.
B) $a^{1/n}$ Correcto. Una raíz de índice $n$ equivale a elevar el radicando al exponente fraccionario $1/n$ .
C) $a^{-n}$ Esto representa el recíproco de la potencia, $1/a^n$ .
D) $n^a$ Aquí se han intercambiado la base y el exponente.

💡 Explicación

La notación de exponente fraccionario es esencial para unificar el tratamiento de potencias y raíces. El índice de la raíz pasa a ser el denominador del exponente fraccionario de la potencia.

Bloom: Apply

Un carpintero en Toledo necesita calcular el área de un cuadrado cuyo lado mide $\sqrt{5}$ metros.

¿Cuál es el área exacta de dicho cuadrado?

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Respuesta correcta: C) 5 m²

A) 2,5 m²Error al dividir la base por el índice en lugar de elevar al cuadrado.
B) $\sqrt{10}$ m²Error al multiplicar el radicando por 2.
C) 5 m²Correcto. El área es el lado al cuadrado: $(\sqrt{5})^2 = 5$ .
D) 25 m²Error al elevar al cuadrado el radicando sin eliminar la raíz.

💡 Explicación

El área de un cuadrado de lado

s

es

s^2

. Si

s = \sqrt{5}

, entonces

s^2 = (\sqrt{5})^2 = 5

. La potencia cuadrada anula la raíz cuadrada.

Bloom: Understand

Un estudiante en Sevilla revisa las condiciones de existencia de las raíces de números negativos.

¿En qué caso la raíz

\sqrt[n]{a}

NO tiene solución dentro del conjunto de los números reales?

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Respuesta correcta: D) Cuando a es negativo y n es par.

A) Cuando a es positivo y n es impar.Siempre tiene solución real positiva.
B) Cuando a es negativo y n es impar.Las raíces de índice impar de números negativos existen en los reales.
C) Cuando a es positivo y n es par.Tiene dos soluciones reales (+ y -).
D) Cuando a es negativo y n es par.Correcto. No existe un número real que elevado a una potencia par resulte negativo.

💡 Explicación

En los números reales, las raíces de índice par de números negativos no están definidas, ya que cualquier número real elevado a una potencia par es siempre no negativo.

Bloom: Apply

Un informático en Málaga analiza la capacidad de almacenamiento, que suele crecer en potencias de 2.

Simplifica la expresión

(2^3)^2 \cdot 2^{-4}

.

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Respuesta correcta: C) 4

A) 2^10Error al sumar exponentes en lugar de multiplicar en la potencia de una potencia.
B) 2Error en la resta de los exponentes.
C) 4Correcto. $(2^3)^2 = 2^6$ ; $2^6 \cdot 2^{-4} = 2^2 = 4$ .
D) 1/4Error de signo en el exponente final.

💡 Explicación

Se aplica la propiedad de potencia de una potencia (multiplicar exponentes) y luego producto de potencias (sumar exponentes).

2^{3 \cdot 2} \cdot 2^{-4} = 2^6 \cdot 2^{-4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4

.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Zaragoza calcula el volumen de un cubo de $\sqrt[3]{2}$ metros de arista.

¿Cuál es el volumen del cubo?

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Respuesta correcta: B) 2 m³

A) 8 m³Error al elevar el radicando al cubo sin considerar la raíz.
B) 2 m³Correcto. El volumen es $(\sqrt[3]{2})^3 = 2$ .
C) $\sqrt[3]{8}$ m³Aunque es matemáticamente igual a 2, no es la forma simplificada.
D) 4 m³Error de cálculo en la potencia.

💡 Explicación

El volumen de un cubo es arista al cubo. La raíz cúbica elevada al cubo se anula, dejando el radicando como resultado final.

Bloom: Apply

Un estudiante de ciencias en Granada simplifica expresiones con radicales para un experimento de física.

Simplifica la expresión

\sqrt{32} + \sqrt{2}

.

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Respuesta correcta: B) $5\sqrt{2}$

A) $\sqrt{34}$ Los radicales no se pueden sumar sumando sus radicandos directamente.
B) $5\sqrt{2}$ Correcto. $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ . Entonces $4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
C) $6\sqrt{2}$ Error al extraer el factor de la raíz de 32.
D) $4\sqrt{4}$ Expresión incorrecta que no simplifica los radicales.

💡 Explicación

Para sumar radicales, deben ser semejantes. Extraemos factores de

\sqrt{32}

identificando el mayor cuadrado perfecto divisor (16).

\sqrt{32} = 4\sqrt{2}

. Sumamos los coeficientes de los radicales semejantes.

Bloom: Apply

Se requiere expresar el número 0,000000045 en notación científica para un informe técnico.

¿Cuál es la representación correcta en notación científica?

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Respuesta correcta: C) $4,5 \cdot 10^{-8}$

A) $45 \cdot 10^{-9}$ No es notación científica estándar (el coeficiente debe estar entre 1 y 10).
B) $4,5 \cdot 10^8$ El exponente debe ser negativo para números menores que 1.
C) $4,5 \cdot 10^{-8}$ Correcto. Movemos la coma 8 lugares a la derecha.
D) $0,45 \cdot 10^{-7}$ El coeficiente debe ser mayor o igual a 1.

💡 Explicación

La notación científica requiere un coeficiente entre 1 (incluido) y 10 (excluido) multiplicado por una potencia de 10. Al desplazar la coma hacia la derecha, el exponente es el número de saltos con signo negativo.

Bloom: Understand

Un estudiante compara dos números reales expresados con radicales de distinto índice.

¿Cómo se puede comparar el valor de

\sqrt{2}

y

\sqrt[3]{3}

de forma analítica?

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Respuesta correcta: D) Reduciendo ambos radicales a un índice común.

A) Sumando los índices y los radicandos.Esto no permite comparar magnitudes.
B) Elevando ambos al cuadrado únicamente.Elevar al cuadrado no elimina la raíz cúbica.
C) Restando los radicandos.No es un método válido de comparación.
D) Reduciendo ambos radicales a un índice común.Correcto. El mínimo común múltiplo de los índices (2 y 3) es 6.

💡 Explicación

Para comparar radicales de distinto índice, se reducen a índice común (m.c.m. de los índices).

\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}

y

\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}

. Así,

\sqrt[3]{3} > \sqrt{2}

.

Bloom: Apply

Un joyero en Córdoba calcula el volumen de una perla esférica cuyo radio es $\sqrt[3]{3}$ cm.

Si la fórmula del volumen es

V = \frac{4}{3}\pi r^3

, ¿cuál es el volumen de la perla?

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Respuesta correcta: C) $4\pi$ cm³

A) $3\pi$ cm³Error al simplificar el 3 de la fórmula con el radio.
B) $\frac{4}{3}\pi$ cm³Se ha olvidado multiplicar por el cubo del radio.
C) $4\pi$ cm³Correcto. $r^3 =$ (\sqrt[3]{3})^3 = 3$. Entonces $V = (4/3)\pi \cdot 3 = 4\pi$ .
D) $12\pi$ cm³Error al multiplicar los coeficientes.

💡 Explicación

Sustituimos el radio en la fórmula. Al elevar la raíz cúbica de 3 al cubo, obtenemos 3. Este valor se cancela con el denominador 3 de la fórmula del volumen, dejando

4\pi

.

Bloom: Analyze

Un estudiante de 1º de Bachillerato en Madrid se enfrenta a la racionalización de expresiones algebraicas.

Racionaliza la expresión

\frac{6}{\sqrt{3}}

. ¿Cuál es el resultado simplificado?

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Respuesta correcta: B) $2\sqrt{3}$

A) $6\sqrt{3}$ Falta dividir por el radicando resultante en el denominador.
B) $2\sqrt{3}$ Correcto. Al multiplicar por $\sqrt{3}/\sqrt{3}$ obtenemos $6\sqrt{3}/3 = 2\sqrt{3}$ .
C) $3\sqrt{6}$ Confusión entre los valores del numerador y el radicando.
D) $\sqrt{2}$ Error total en la simplificación.

💡 Explicación

La racionalización elimina la raíz del denominador. Multiplicamos numerador y denominador por la raíz cuadrada del denominador. Luego simplificamos la fracción numérica resultante.

Bloom: Apply

Un ingeniero civil calcula la resistencia de un material usando la expresión $\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a^4}$ .

Simplifica la expresión resultante en términos de una potencia de

a

.

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Respuesta correcta: D) $a^2$

A) $a^3$ Error al dividir el exponente total por el índice de forma incorrecta.
B) $a^6$ Error al no aplicar la raíz al exponente.
C) $a^{8/3}$ Se han multiplicado los exponentes en lugar de sumarlos.
D) $a^2$ Correcto. Sumamos los exponentes de los radicandos bajo la misma raíz cúbica: $\sqrt[3]{a^6} = a^2$ .

💡 Explicación

Cuando los radicales tienen el mismo índice, se pueden multiplicar sus radicandos.

\sqrt[3]{a^2 \cdot a^4} = \sqrt[3]{a^6}

. Dividiendo el exponente por el índice obtenemos

a^2

.

Bloom: Analyze

Un estudiante estudia la racionalización de denominadores con sumas de raíces.

¿Cuál es el factor racionalizante adecuado para la expresión

\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}

?

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Respuesta correcta: A) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

A) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ Correcto. Se usa el conjugado para aplicar la identidad de diferencia de cuadrados $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
B) $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ Multiplicar por el mismo signo no eliminaría las raíces (daría un binomio al cuadrado).
C) $\sqrt{3}$ Multiplicar por una sola raíz no elimina el binomio del denominador.
D) $5 - 2$ Este es el resultado buscado en el denominador, no el factor para multiplicar.

💡 Explicación

Para racionalizar un binomio con raíces cuadradas, multiplicamos por su conjugado (cambiando el signo central). Esto permite usar la identidad de suma por diferencia, que eleva cada término al cuadrado y elimina las raíces.

Bloom: Apply

Un físico en Cantabria trabaja con partículas y necesita calcular la raíz cuarta de una potencia: $\sqrt[4]{16x^8}$ .

Simplifica la expresión (asume

x > 0

).

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Respuesta correcta: C) $2x^2$

A) $4x^2$ Se ha calculado la raíz cuadrada de 16, no la cuarta.
B) $2x^4$ Error al dividir el exponente por el índice.
C) $2x^2$ Correcto. $\sqrt[4]{16} = 2$ y $\sqrt[4]{x^8} = x^{8/4} = x^2$ .
D) $4x^4$ Múltiples errores en el cálculo de raíces.

💡 Explicación

Aplicamos la raíz de un producto. La raíz cuarta de 16 es 2 (porque

2^4=16

). Para la variable, dividimos el exponente por el índice de la raíz (

8/4 = 2

).

Bloom: Analyze

Un estudiante analiza la simplificación de radicales anidados en un ejercicio de olimpiada matemática.

Simplifica la expresión

\sqrt{x\sqrt{x}}

.

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Respuesta correcta: D) $\sqrt[4]{x^3}$

A) $x$ Error al ignorar la estructura de los radicales.
B) $\sqrt[3]{x^2}$ Error en el cálculo del índice o los exponentes.
C) $\sqrt[4]{x^2}$ Error al sumar los exponentes internos.
D) $\sqrt[4]{x^3}$ Correcto. $\sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} = \sqrt[4]{x^3}$ .

💡 Explicación

Convertimos los radicales a exponentes fraccionarios de dentro hacia afuera.

x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}

. Aplicando la raíz exterior:

(x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}

, que en radical es

\sqrt[4]{x^3}

.

Bloom: Apply

Un agrónomo en Murcia mide una parcela de $500$ m² y quiere saber el lado de un cuadrado equivalente en forma de radical simplificado.

¿Cuál es el valor simplificado de

\sqrt{500}

?

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Respuesta correcta: D) $10\sqrt{5}$

A) $50\sqrt{10}$ Error al extraer el factor; se dividió por 10 en lugar de 100.
B) $5\sqrt{10}$ Error al identificar el cuadrado perfecto.
C) $100\sqrt{5}$ No se extrajo la raíz del factor 100.
D) $10\sqrt{5}$ Correcto. $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$ .

💡 Explicación

Para simplificar un radical, descomponemos el radicando en factores, buscando el mayor cuadrado perfecto (en este caso 100). Extraemos su raíz fuera del radical.

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado resuelve una ecuación exponencial sencilla basada en potencias.

Si

3^{x+1} = \sqrt{27}

, ¿cuál es el valor de

x

?

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Respuesta correcta: D) 0,5

A) 1 $3^{1+1} = 9$ , mientras que $\sqrt{27}$ es $3\sqrt{3} \approx 5,2$ .
B) 2Daría un resultado mucho mayor.
C) 1,5Este es el exponente total, no el valor de x.
D) 0,5Correcto. $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2} = 3^{1,5}$ . Entonces $x+1 = 1,5 \Rightarrow x=0,5$ .

💡 Explicación

Igualamos las bases de la ecuación exponencial.

\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}

. Al tener la misma base, igualamos los exponentes:

x+1 = 3/2

, por lo tanto

x = 1/2 = 0,5

.

Bloom: Evaluate

Se plantea una comparación compleja entre potencias con bases distintas.

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

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Respuesta correcta: B) $3^{40}$

A) $2^{60}$ Menor que $3^{40}$ .
B) $3^{40}$ Correcto. $(3^2)^{20} = 9^{20}$ frente a $(2^3)^{20} = 8^{20}$ . $9^{20} > 8^{20}$ .
C) $8^{20}$ Es igual a $2^{60}$ .
D) $9^{15}$ Es $3^{30}$ , menor que $3^{40}$ .

💡 Explicación

Para comparar potencias con distintas bases y exponentes, buscamos un exponente común o una base común. Aquí, el m.c.d. de los exponentes 60 y 40 es 20. Comparamos

(2^3)^{20} = 8^{20}

con

(3^2)^{20} = 9^{20}

. Claramente

9^{20} > 8^{20}

.

Bloom: Evaluate

Un diseño geométrico fractal en un museo de Bilbao usa la repetición de raíces para definir distancias.

Simplifica la expresión

\frac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^5}}

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 1

A) $a$ Los exponentes no suman 1.
B) $a^{1/6}$ Error en la suma o resta de exponentes fraccionarios.
C) 0El cociente de potencias no nulas nunca es cero.
D) 1Correcto. Exponentes: $1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6$ . Numerador: $a^{5/6}$ . Dividido por $a^{5/6}$ da 1.

💡 Explicación

Convertimos a exponentes fraccionarios:

a^{1/3} \cdot a^{1/2} = a^{1/3+1/2} = a^{5/6}

. Como el denominador es también

\sqrt[6]{a^5} = a^{5/6}

, el cociente es igual a la unidad.

Bloom: Evaluate

Un reto de cálculo numérico sobre la simplificación de raíces de raíces.

¿Cuál es el valor de

\sqrt[3]{-8^2}

?

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Respuesta correcta: D) 4

A) -4El cuadrado de -8 es 64, cuya raíz cúbica es 4 positiva.
B) No existe en los realesEl radicando tras elevar al cuadrado es positivo, por lo que la raíz existe.
C) 16Error en el cálculo de la raíz cúbica.
D) 4Correcto. $(-8)^2 = 64$ . $\sqrt[3]{64} = 4$ .

💡 Explicación

Siguiendo la jerarquía, primero elevamos al cuadrado:

(-8)^2 = 64

. Luego calculamos la raíz cúbica de 64, que es 4, ya que

4^3 = 64

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?