Logaritmos Propiedades

Respuesta correcta: B) $a^c = b$

• A) $b^c = a$Error al intercambiar la base y el argumento.
• B) $a^c = b$Correcto. La base del logaritmo elevada al resultado es igual al argumento.
• C) $a^b = c$Error al usar el argumento como exponente.
• D) $c^a = b$Error al usar el resultado como base.

Respuesta correcta: B) $x > 0$, $a > 0$ y $a \neq 1$.

• A) $x$ puede ser cualquier número real.Los logaritmos no están definidos para números negativos ni para el cero.
• B) $x > 0$, $a > 0$ y $a \neq 1$.Correcto. El argumento debe ser positivo y la base positiva y distinta de 1.
• C) $x \geq 0$ y $a > 0$.El logaritmo de cero no está definido (tiende a menos infinito).
• D) Solo que $a$ sea un número entero.La base puede ser cualquier número real positivo distinto de 1 (como el número e).

Respuesta correcta: A) 5

• A) 5Correcto. $2^5 = 32$, por lo tanto $\log_2 32 = 5$.
• B) 42 elevado a 4 es 16.
• C) 16Error al dividir 32 entre 2.
• D) 62 elevado a 6 es 64.

Respuesta correcta: D) Base $e$

• A) Base 10El logaritmo en base 10 se escribe simplemente como log x.
• B) Base 2Es el logaritmo binario, usado en informática.
• C) Base $\pi$No es una base de uso estándar para logaritmos neperianos.
• D) Base $e$Correcto. El logaritmo neperiano tiene como base el número irracional e (aprox. 2,718).

Respuesta correcta: B) 2

• A) 198Los logaritmos no se restan restando sus argumentos.
• B) 2Correcto. $\log 200 - \log 2 = \log (200/2) = \log 100 = 2$.
• C) 100Este es el resultado del cociente de los argumentos, no el valor del logaritmo.
• D) $\log 198$Aplicación errónea de las propiedades.

Respuesta correcta: D) $\log (x^3 y)$

• A) $\log (3x + y)$Error al tratar el logaritmo como una operación lineal sobre los términos.
• B) $\log (x^3 + y)$La suma de logaritmos se convierte en producto de argumentos, no suma.
• C) $3 \log (xy)$El coeficiente 3 solo afecta al término de la x.
• D) $\log (x^3 y)$Correcto. $3 \log x = \log x^3$; luego $\log x^3 + \log y = \log (x^3 y)$.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2} \log x$

• A) $\sqrt{\log x}$El radical no puede extraerse fuera de la función logaritmo de esa forma.
• B) $2 \log x$Este sería el logaritmo de $x$ al cuadrado, no de la raíz.
• C) $\frac{1}{2} \log x$Correcto. $\sqrt{x} = x^{1/2}$, y por la propiedad de la potencia, el exponente sale multiplicando.
• D) $\log (x/2)$Error al confundir el exponente con un divisor del argumento.

Respuesta correcta: D) $\frac{\log 10}{\log 3}$

• A) $\frac{\log 3}{\log 10}$Error al invertir el numerador y el denominador.
• B) $\log 10 - \log 3$El cambio de base implica división, no resta.
• C) $10 \cdot \log 3$Fórmula incorrecta.
• D) $\frac{\log 10}{\log 3}$Correcto. Para cambiar a base 10: $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$.

Respuesta correcta: C) -3

• A) 3$(1/2)^3 = 1/8$, no 8.
• B) -4$(1/2)^{-4} = 16$.
• C) -3Correcto. $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$.
• D) 4Valor incorrecto.

Respuesta correcta: B) 0

• A) 1Solo se cumple si la base fuera 1, pero la base 1 no está permitida.
• B) 0Correcto. Cualquier número (base) elevado a 0 es igual a 1.
• C) $a$Este es el valor de $\log_a a$.
• D) InfinitoEl logaritmo tiende a infinito cuando el argumento tiende a infinito.

Respuesta correcta: B) $x = 8$

• A) $x = 10$Error al no restar el 2 del argumento.
• B) $x = 8$Correcto. $x+2 = 10^1 = 10 \Rightarrow x = 8$.
• C) $x = -1$Error de cálculo.
• D) $x = 12$Error al sumar en lugar de restar.

Respuesta correcta: A) Porque no existe ningún número real $x$ tal que $10^x$ sea negativo.

• A) Porque no existe ningún número real $x$ tal que $10^x$ sea negativo.Correcto. Una potencia de base positiva es siempre positiva.
• B) Porque el resultado sería un número negativo muy grande.No es una cuestión de magnitud del resultado, sino de existencia.
• C) Porque los logaritmos solo admiten números enteros.Admiten cualquier número real positivo.
• D) Porque el logaritmo de un negativo es siempre cero.El logaritmo no está definido para argumentos negativos, así que no hay ningún valor que devolver, y desde luego ninguno que sea cero.

Respuesta correcta: C) 0,778

• A) 0,143Error al restar los logaritmos en lugar de sumarlos.
• B) 0,176Error de cálculo.
• C) 0,778Correcto. $\log 6 = \log (2 \cdot 3) = \log 2 + \log 3 \approx 0,301 + 0,477 = 0,778$.
• D) 1,436Error al multiplicar los valores de los logaritmos.

Respuesta correcta: C) 3

• A) $\ln(e^3)$Aunque es cierto, se pide el valor simplificado final.
• B) $\ln(e^7)$Error al sumar exponentes en una resta de logaritmos.
• C) 3Correcto. $\ln(e^5) = 5$ y $\ln(e^2) = 2$. $5 - 2 = 3$.
• D) $e^3$El resultado de un logaritmo es el exponente, no la potencia.

Respuesta correcta: B) 1

• A) 0El producto de dos números positivos no es cero.
• B) 1Correcto. Por la propiedad del cambio de base: $\log_a b = 1 / \log_b a$.
• C) $\log(ab)$El cambio de base da (log b / log a)·(log a / log b) = 1 porque los factores se cancelan. Sumar los argumentos, como haría log(ab), no corresponde a ese producto.
• D) $ab$El mismo razonamiento lleva a 1, no al producto ab. Aquí lo que se cancela son los cocientes, no los números entre sí.

Respuesta correcta: C) 3

• A) 99 al cuadrado es 81, pero aquí el exponente es 4.
• B) 20,25Error al dividir 81 entre 4.
• C) 3Correcto. $x^4 = 81 \Rightarrow x = \sqrt[4]{81} = 3$.
• D) 22 elevado a 4 es 16.

Respuesta correcta: C) $x = 4$

• A) $x = 15$Error al restar los argumentos en lugar de dividirlos.
• B) $x = 100$Error de cálculo.
• C) $x = 4$Correcto. $\log(5x) = \log 20 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$.
• D) $x = 25$Error al operar con los logaritmos.

Respuesta correcta: A) -1,5

• A) -1,5Correcto. $\log 10^{1/2} - \log 10^2 = 0,5 - 2 = -1,5$.
• B) 1,5Error de signo.
• C) -2,5Error de cálculo.
• D) 0,5Solo se ha calculado el logaritmo del numerador.

Respuesta correcta: D) Son opuestos ($\log(1/x) = -\log x$).

• A) Son iguales.No son iguales; tienen signos opuestos.
• B) Son recíprocos.No es una propiedad válida.
• C) Su suma es 1.Su suma es 0.
• D) Son opuestos ($\log(1/x) = -\log x$).Correcto. $\log(1/x) = \log x^{-1} = -1 \cdot \log x$.

Respuesta correcta: C) $A = 3e^2$

• A) $A = e^2 + 3$Error al tratar el logaritmo como una operación lineal.
• B) $A = e^5$Error al sumar el 2 y el 3 de forma incorrecta.
• C) $A = 3e^2$Correcto. $2 = \ln(e^2)$. Entonces $\ln A = \ln(e^2) + \ln 3 = \ln(3e^2)$.
• D) $A = 3/e^2$Error al restar en lugar de sumar.