Expresiones Algebraicas

Respuesta correcta: A) 5

• A) 5Correcto. El coeficiente principal es el número que multiplica a la variable de mayor grado (x³).
• B) -7Este es el término independiente, no el coeficiente principal.
• C) 3Este es el grado del polinomio, no su coeficiente principal.
• D) -2Este es el coeficiente del término de segundo grado.

Respuesta correcta: B) 5

• A) 6El grado del producto se obtiene sumando, no multiplicando, los grados de los factores.
• B) 5Al multiplicar monomios de la misma base los exponentes se suman: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$, y el producto tiene grado $2 + 3 = 5$.
• C) 3El grado del producto siempre es mayor o igual que el de cada factor, porque los grados se suman: $2 + 3 = 5 > 3$.
• D) 2El grado del producto no puede ser menor que el de un factor; aquí se obtiene $2 + 3 = 5$, no $2$.

Respuesta correcta: C) $4x^2 + 12x + 9$

• A) $4x^2 + 9$Error grave al omitir el término del doble producto.
• B) $4x^2 + 6x + 9$Error en el doble producto; se olvidó multiplicar por 2.
• C) $4x^2 + 12x + 9$Correcto. Cuadrado del primero (4x²) + doble del primero por el segundo (2·2x·3 = 12x) + cuadrado del segundo (9).
• D) $2x^2 + 12x + 6$Error al no elevar al cuadrado los coeficientes numéricos.

Respuesta correcta: B) $(x - 3)$

• A) $(x + 3)$El factor para una raíz $a$ es $(x-a)$.
• B) $(x - 3)$Correcto. Si $P(3) = 0$, entonces el polinomio es divisible por $(x-3)$.
• C) $3x$No es un factor derivado de una raíz sumada o restada.
• D) $(x^2 - 9)$Aunque contiene al factor, el factor elemental es $(x-3)$.

Respuesta correcta: B) 3

• A) 1Valor incorrecto obtenido al aplicar mal la regla.
• B) 3Correcto. Por el Teorema del Resto, evaluamos en $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$.
• C) 7Error de signos en la evaluación.
• D) 0La división no es exacta.

Respuesta correcta: B) $\frac{x+3}{x-3}$

• A) $\frac{x+3}{x+3}$El denominador es un cuadrado perfecto con signo negativo.
• B) $\frac{x+3}{x-3}$Correcto. Numerador: $(x-3)(x+3)$. Denominador: $(x-3)^2$. Simplificando un $(x-3)$, queda $(x+3)/(x-3)$.
• C) $\frac{1}{-6x}$Error grave al intentar cancelar términos sumados.
• D) $x+3$Se ha simplificado incorrectamente el denominador.

Respuesta correcta: C) Cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador.

• A) Cuando el numerador es una constante.No es la definición general.
• B) Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador.Esto define a una fracción impropia.
• C) Cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador.Correcto. Al igual que en las fracciones numéricas, el "valor" (grado) de arriba es menor.
• D) Cuando no se puede simplificar más.Esto define a una fracción irreducible.

Respuesta correcta: B) $\frac{3x+1}{x(x+1)}$

• A) $\frac{3}{2x+1}$Error al sumar numeradores y denominadores directamente.
• B) $\frac{3x+1}{x(x+1)}$Correcto. m.c.m. es $x(x+1)$. Numerador: $1(x+1) + 2(x) = 3x+1$.
• C) $\frac{2}{x^2+x}$Error en el cálculo del numerador.
• D) $\frac{3}{x^2+1}$Error en el cálculo del denominador común.

Respuesta correcta: C) $x(x-1)(x+1)$

• A) $x(x^2 + 1)$$x^2+1$ no tiene raíces reales, pero $x^2-1$ sí.
• B) $(x-1)(x+1)$Falta el factor $x$ extraído por factor común.
• C) $x(x-1)(x+1)$Correcto. Primero sacamos factor común $x(x^2-1)$, y luego aplicamos diferencia de cuadrados.
• D) $x^2(x-1)$El grado resultante sería 3, pero la expresión no coincide.

Respuesta correcta: A) 98

• A) 98Correcto. Simplificando la expresión queda $x-1$. Evaluando: $99-1 = 98$.
• B) 100Error al simplificar como $x+1$.
• C) 99Error al no operar el resultado final.
• D) 9800Se ha calculado el numerador pero no se ha dividido por el denominador.

Respuesta correcta: C) Exactamente 4.

• A) Máximo 4.El teorema asegura que tiene exactamente n raíces contando su multiplicidad.
• B) Al menos una raíz real.No siempre es cierto para grados pares (ej. x^4+1).
• C) Exactamente 4.Correcto. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en el campo de los números complejos.
• D) Entre 0 y 4.Esto se refiere a las raíces reales únicamente.

Respuesta correcta: B) 6

• A) 3Este es la raíz del término independiente, no el coeficiente central.
• B) 6Correcto. Para ser $(x+3)^2$, el término central debe ser $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
• C) 9Valor incorrecto.
• D) 18Error al multiplicar por 2 dos veces.

Respuesta correcta: A) $x + 1/2$

• A) $x + 1/2$Correcto. Es una diferencia de cuadrados: $(x-1/2)(x+1/2)$. Al dividir por uno, queda el otro.
• B) $x - 1/2$Este es el divisor, no el cociente.
• C) $x + 1/4$Error al no extraer la raíz cuadrada del término independiente.
• D) $x^2 + 1/2$El grado debe disminuir en 1 tras la división.

Respuesta correcta: B) $\frac{2x}{x+2}$

• A) $\frac{2x}{x-2}$Se ha factorizado el denominador pero no se ha cancelado correctamente.
• B) $\frac{2x}{x+2}$Correcto. Numerador: $2x(x-2)$. Denominador: $(x-2)(x+2)$. Se cancela $(x-2)$.
• C) $2x - 4$Simplificación incorrecta.
• D) $\frac{x-2}{x+2}$Se ha perdido el coeficiente 2 del numerador.

Respuesta correcta: C) 5

• A) 0Esto solo ocurriría si la división fuera exacta.
• B) -5Error de signo.
• C) 5Correcto. Por el Teorema del Resto, $P(a)$ es igual al resto de dividir entre $x-a$.
• D) No se puede saber sin el polinomio.El Teorema del Resto permite saber este valor precisamente sin conocer el polinomio completo.

Respuesta correcta: A) $\frac{x+1}{x}$

• A) $\frac{x+1}{x}$Correcto. Factorizamos $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Simplificamos $x^2$ con $x^3$ (queda x abajo) y $(x-1)$ con $(x-1)$. Resultado: $(x+1)/x$.
• B) $\frac{x-1}{x}$Error de signo en la factorización o simplificación.
• C) $x(x+1)$Error al colocar el factor x en el numerador en lugar del denominador.
• D) $\frac{1}{x}$Se ha perdido el factor $(x+1)$ durante la simplificación.

Respuesta correcta: B) $x^3 - x$

• A) $x^2 - 1$Este polinomio solo tiene las raíces 1 y -1.
• B) $x^3 - x$Correcto. Los factores son $x(x-1)(x+1)$, que al multiplicar dan $x(x^2-1) = x^3-x$.
• C) $x^3 + x$Las raíces de este polinomio son 0, i, -i (complejas).
• D) $x(x-1)^2$Las raíces son 0 y 1 (doble).

Respuesta correcta: C) $k = 3$

• A) $k = 1$$8 - 4(1) + 4 = 8 \neq 0$.
• B) $k = 2$$8 - 4(2) + 4 = 4 \neq 0$.
• C) $k = 3$Correcto. $P(2) = 2^3 - k(2^2) + 4 = 8 - 4k + 4 = 12 - 4k$. Si es divisible, $12-4k=0 \Rightarrow k=3$.
• D) $k = 4$$8 - 4(4) + 4 = -4 \neq 0$.

Respuesta correcta: B) $\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$

• A) $\frac{A}{x^2} + \frac{B}{x}$El denominador no tiene una raíz doble en 0.
• B) $\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$Correcto. Factorizamos el denominador como $x(x-1)$, que son dos factores lineales distintos.
• C) $\frac{Ax+B}{x^2-x}$Esto no es una descomposición en fracciones más simples.
• D) $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$El segundo factor es $(x-1)$, no $(x+1)$.

Respuesta correcta: D) Calculando $P(1)$.

• A) Calculando $P(0)$.$P(0)$ nos da el término independiente únicamente.
• B) Sumando los exponentes de los términos.No existe tal propiedad para hallar la suma de coeficientes.
• C) Calculando el coeficiente principal.Solo daría un término, no la suma.
• D) Calculando $P(1)$.Correcto. Al sustituir x por 1, todas las potencias de x se vuelven 1, quedando solo la suma de los coeficientes.