Ecuaciones Lineales Cuadraticas

Respuesta correcta: D) $ax^2 + bx + c = 0$

• A) $ax + b = 0$Esta es la forma de una ecuación de primer grado o lineal.
• B) $ax^2 + c = 0$Esta es una ecuación de segundo grado incompleta (falta el término lineal).
• C) $x^2 = k$Forma básica de una ecuación cuadrática pura.
• D) $ax^2 + bx + c = 0$Correcto. Incluye el término cuadrático, el lineal y el independiente.

Respuesta correcta: D) Que la ecuación no tiene soluciones reales.

• A) Que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.Esto ocurre cuando el discriminante es positivo.
• B) Que la ecuación tiene una única solución real (doble).Esto ocurre cuando el discriminante es cero.
• C) Que la ecuación es lineal en realidad.El grado depende del exponente, no del discriminante.
• D) Que la ecuación no tiene soluciones reales.Correcto. Al ser la raíz de un número negativo, las soluciones son números complejos.

Respuesta correcta: C) $x = 5$

• A) $x = 1$Error al despejar los términos.
• B) $x = 3$$3(3-2)=3$; $3+4=7$. No se cumple la igualdad.
• C) $x = 5$Correcto. $3x - 6 = x + 4 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$.
• D) $x = -1$Error de signos en el desarrollo.

Respuesta correcta: A) $x = 3$ y $x = -3$

• A) $x = 3$ y $x = -3$Correcto. $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9}$.
• B) Solo $x = 3$Se ha olvidado la raíz negativa.
• C) Solo $x = -3$Se ha olvidado la raíz positiva.
• D) No tiene solución real.Al ser el término independiente negativo tras pasarlo al otro lado, la raíz es real.

Respuesta correcta: C) $x = 2$ y $x = 3$

• A) $x = 1$ y $x = 6$Aunque suman 7 y su producto es 6, no anulan la ecuación con los signos dados.
• B) $x = -2$ y $x = -3$El término lineal sería +5x con estas raíces.
• C) $x = 2$ y $x = 3$Correcto. $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 = 0$.
• D) $x = 0$ y $x = 5$Error al intentar factorizar.

Respuesta correcta: B) $x = 0$ y $x = -4$

• A) $x = 0$ y $x = 4$Error de signo al despejar tras sacar factor común.
• B) $x = 0$ y $x = -4$Correcto. $2x(x + 4) = 0 \Rightarrow 2x = 0$ o $x + 4 = 0$.
• C) Solo $x = -4$Se ha olvidado la solución trivial x = 0.
• D) $x = 2$ y $x = 8$Error al tratar de resolver por inspección.

Respuesta correcta: A) $-b/a$

• A) $-b/a$Correcto. La suma de las raíces es el opuesto del coeficiente lineal entre el principal.
• B) $c/a$Este es el producto de las raíces, no la suma.
• C) $b/a$Falta el signo negativo de la fórmula.
• D) $\sqrt{\Delta}/2a$Esto es parte de la fórmula de resolución, no la suma total de raíces.

Respuesta correcta: A) $x^2 + 2x - 120 = 0$

• A) $x^2 + 2x - 120 = 0$Correcto. $x(x + 2) = 120 \Rightarrow x^2 + 2x = 120$.
• B) $2x + 2 = 120$Esto es el perímetro, no el área.
• C) $x^2 - 2x + 120 = 0$Error de signos en el planteamiento.
• D) $2x^2 = 120$Error al relacionar el largo y el ancho.

Respuesta correcta: A) $x = 5$ (doble)

• A) $x = 5$ (doble)Correcto. Es el desarrollo del binomio $(x-5)^2 = 0$.
• B) $x = 5$ y $x = -5$El producto sería -25, no +25.
• C) $x = 10$Error al relacionar los coeficientes.
• D) No tiene solución real.El discriminante es cero ($100 - 100$), por lo que sí tiene solución.

Respuesta correcta: A) $x = 6$

• A) $x = 6$Correcto. Multiplicando por 6: $3x + 2x = 30 \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6$.
• B) $x = 1$Valor demasiado pequeño.
• C) $x = 5$Error al operar las fracciones.
• D) $x = 10$Error al despejar tras sumar las fracciones.

Respuesta correcta: B) $k = 4$

• A) $k = 0$Tendría dos soluciones (0 y 4).
• B) $k = 4$Correcto. El discriminante debe ser cero: $(-4)^2 - 4(1)(k) = 16 - 4k = 0 \Rightarrow k = 4$.
• C) $k = 2$El discriminante sería $16-8=8 > 0$, dos soluciones reales.
• D) $k = 16$El discriminante sería negativo, sin soluciones reales.

Respuesta correcta: A) $x = 3$ y $x = 1/2$

• A) $x = 3$ y $x = 1/2$Correcto. $\Delta = 49 - 24 = 25$. $x = (7 \pm 5)/4$.
• B) $x = 1$ y $x = 3/2$Error al aplicar la fórmula.
• C) $x = -3$ y $x = -1/2$Error de signos en la aplicación de la fórmula.
• D) No tiene soluciones enteras ni fraccionarias simples.Las soluciones son racionales y exactas.

Respuesta correcta: C) Como máximo $n$ soluciones reales.

• A) Siempre tiene $n$ soluciones reales.El grado $n$ fija el número total de raíces contando multiplicidad sobre los complejos, pero algunas pueden ser complejas y no reales.
• B) Siempre tiene al menos una solución real.No es cierto: una ecuación de grado par como $x^2 + 1 = 0$ no tiene ninguna solución real.
• C) Como máximo $n$ soluciones reales.Como máximo $n$: el grado es el límite superior de soluciones reales, y en los reales puede haber menos o ninguna.
• D) $n-1$ soluciones.El límite superior es $n$ y no $n-1$: una ecuación de grado $n$ puede alcanzar exactamente $n$ raíces reales distintas.

Respuesta correcta: D) $r = 3$

• A) $r = 7$$49 + 28 - 21 = 56 \neq 0$.
• B) $r = 5$Error de cálculo.
• C) $r = 21$Valor incorrecto.
• D) $r = 3$Correcto. $9 + 12 - 21 = 0$. La otra raíz es -7, pero un radio debe ser positivo.

Respuesta correcta: D) Es tangente al eje X en el punto (3, 0).

• A) Corta al eje X en dos puntos.Solo corta en uno (el vértice).
• B) No toca nunca el eje X.Esto ocurriría si el discriminante fuera negativo.
• C) Es una línea recta.Es una parábola por ser de grado 2.
• D) Es tangente al eje X en el punto (3, 0).Correcto. Al ser una raíz doble, el vértice toca el eje sin cruzarlo.

Respuesta correcta: B) $x = 2$

• A) $x = 1$$2^2 = 4$; $1+5=6$. No se cumple.
• B) $x = 2$Correcto. $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
• C) $x = 4$Error al simplificar la identidad notable.
• D) Ecuación sin solución.Los términos cuadráticos se cancelan, dejando una lineal resoluble.

Respuesta correcta: B) $x = 2$

• A) $x = 1$El denominador se anularía, la solución no es válida.
• B) $x = 2$Correcto. $x + 1 = 3x - 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
• C) $x = 3$Error al multiplicar por el denominador.
• D) $x = 0$Error de cálculo.

Respuesta correcta: A) $x = \pm 2$ y $x = \pm 3$

• A) $x = \pm 2$ y $x = \pm 3$Correcto. Si $z=x^2$, $z^2-13z+36=0$ da $z=4, z=9$. Sus raíces son $\pm 2$ y $\pm 3$.
• B) $x = 4$ y $x = 9$Estas son las soluciones para $z=x^2$, falta extraer la raíz.
• C) Solo $x = 2$ y $x = 3$Se han omitido las soluciones negativas.
• D) No tiene soluciones reales.Tiene cuatro soluciones reales distintas.

Respuesta correcta: B) 2

• A) 4Esta es la suma de las raíces simples.
• B) 2Correcto. $1/x_1 + 1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1 \cdot x_2) = (-b/a)/(c/a) = -b/c = 4/2 = 2$.
• C) 1/2Error al aplicar la fórmula de la relación entre raíces.
• D) -2Error de signo en la relación.

Respuesta correcta: C) 1

• A) 0Las raíces serían iguales, no consecutivas.
• B) 4Las raíces distarían 2 unidades entre sí.
• C) 1Correcto. Si las raíces son $r$ y $r+1$, su diferencia es 1. Dado que $x_1-x_2 = \sqrt{\Delta}/a$, entonces $1 = \sqrt{\Delta}/1 \Rightarrow \Delta = 1$.
• D) Depende de los valores de b y c.Para cualquier par de raíces consecutivas, el discriminante siempre vale 1.