Sistemas Ecuaciones — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid repasa los métodos clásicos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales.

¿Cuál de los siguientes métodos NO es un procedimiento estándar para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

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Respuesta correcta: B) Factorización por identidades notables

A) SustituciónEs un método estándar donde se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación.
B) Factorización por identidades notablesCorrecto. Este es un método para resolver ecuaciones polinómicas, no es un método general para sistemas lineales.
C) IgualaciónMétodo estándar donde se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
D) ReducciónMétodo estándar que busca eliminar una incógnita mediante suma o resta de ecuaciones.

💡 Explicación

Los tres métodos algebraicos clásicos para sistemas lineales son sustitución, igualación y reducción. También existe el método gráfico, que permite visualizar la solución como el punto de corte de dos rectas.

Bloom: Understand

Se explica la clasificación de los sistemas de ecuaciones en una clase en Barcelona.

¿Cómo se denomina a un sistema de ecuaciones que tiene infinitas soluciones?

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Respuesta correcta: A) Sistema Compatible Indeterminado (SCI)

A) Sistema Compatible Indeterminado (SCI)Correcto. Ocurre cuando las ecuaciones representan la misma recta (son dependientes).
B) Sistema Compatible Determinado (SCD)Este sistema tiene una única solución.
C) Sistema Incompatible (SI)Este sistema no tiene ninguna solución.
D) Sistema No LinealLa clasificación por número de soluciones es independiente de si es lineal o no.

💡 Explicación

Un sistema es compatible si tiene solución. Si tiene una sola, es determinado (rectas secantes). Si tiene infinitas, es indeterminado (rectas coincidentes). Si no tiene solución, es incompatible (rectas paralelas).

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve un sistema sencillo para calcular el precio unitario de dos productos en Valencia.

Resuelve el sistema por el método que prefieras:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}

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Respuesta correcta: D) $x = 6, y = 4$

A) $x = 5, y = 5$ La resta daría 0, no 2.
B) $x = 4, y = 6$ La resta daría -2, no 2.
C) $x = 8, y = 2$ La suma es 10, pero la resta es 6.
D) $x = 6, y = 4$ Correcto. Sumando ambas: $2x = 12 \Rightarrow x = 6$ . Entonces $y = 10 - 6 = 4$ .

💡 Explicación

Este sistema es ideal para el método de reducción. Al sumar las dos ecuaciones directamente, la incógnita

y

se elimina, permitiendo hallar

x

de forma inmediata.

Bloom: Remember

Un examen en Sevilla pregunta por la interpretación geométrica de un sistema incompatible.

Geométricamente, ¿qué representan las dos rectas de un sistema incompatible?

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Respuesta correcta: C) Dos rectas paralelas.

A) Dos rectas que se cortan en un punto.Esto corresponde a un sistema compatible determinado.
B) Dos rectas coincidentes (una encima de otra).Esto corresponde a un sistema compatible indeterminado.
C) Dos rectas paralelas.Correcto. Al no cortarse nunca, el sistema no tiene solución.
D) Una curva y una recta.Los sistemas de ecuaciones lineales solo implican rectas.

💡 Explicación

La solución de un sistema es el punto (o puntos) común a ambas gráficas. Si las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, lo que se traduce algebraicamente en un sistema sin solución.

Bloom: Apply

Un administrativo en una oficina de Sevilla calcula el coste de sobres y sellos mediante un sistema.

Resuelve el sistema:

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}

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Respuesta correcta: B) $x = 3, y = 2$

A) $x = 2, y = 1$ $2(2)+3(1)=7 \neq 12$ .
B) $x = 3, y = 2$ Correcto. $2(3)+3(2) = 6+6=12$ y $3-2=1$ .
C) $x = 4, y = 3$ $x-y=1$ se cumple, pero $2(4)+3(3)=17 \neq 12$ .
D) $x = 1, y = 0$ $1-0=1$ se cumple, pero $2(1)+0=2 \neq 12$ .

💡 Explicación

Podemos usar sustitución despejando

x = 1 + y

de la segunda ecuación. Sustituyendo en la primera:

2(1+y) + 3y = 12 \Rightarrow 2 + 5y = 12 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2

. Luego

x = 3

.

Bloom: Apply

Un estudiante en Bilbao resuelve un sistema donde los coeficientes de las incógnitas son múltiplos entre sí.

Determina la naturaleza del siguiente sistema:

\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 2x - 4y = 10 \end{cases}

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Respuesta correcta: D) Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

A) Sistema Compatible Determinado (solución única).Las ecuaciones no son independientes.
B) Sistema Incompatible (sin solución).Los términos independientes también guardan la misma proporción.
C) No es un sistema lineal.Ambas son ecuaciones lineales (grado 1).
D) Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).Correcto. La segunda ecuación es el doble de la primera; representan la misma recta.

💡 Explicación

Si al multiplicar una ecuación por un número obtenemos exactamente la otra (incluyendo el término independiente), las ecuaciones son equivalentes. Esto significa que cualquier punto que satisfaga una, satisface la otra, resultando en infinitas soluciones.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza la condición para que un sistema de dos rectas sea paralelo pero no coincidente.

¿Cuál de estos sistemas es incompatible?

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Respuesta correcta: C) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

A) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 2 \end{cases}$ Es compatible indeterminado (idénticas).
B) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 2 \end{cases}$ Es compatible determinado (se cortan en x=2, y=0).
C) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$ Correcto. La suma de los mismos valores no puede ser 2 y 3 a la vez. Las rectas son paralelas.
D) $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ Es compatible indeterminado (proporcionales).

💡 Explicación

Un sistema es incompatible si los coeficientes de las incógnitas son proporcionales entre sí pero no lo son respecto a los términos independientes (

a/a' = b/b' \neq c/c'

).

Bloom: Apply

Un agricultor en Murcia mezcla dos tipos de abono. El tipo A cuesta 2 €/kg y el tipo B cuesta 5 €/kg. Quiere obtener 10 kg de mezcla a un precio de 3,2 €/kg.

Plantea el sistema de ecuaciones para hallar los kg de cada tipo (

x, y

).

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Respuesta correcta: B) $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 5y = 32 \end{cases}$

A) $\begin{cases} x + y = 3,2 \\ 2x + 5y = 10 \end{cases}$ Las constantes están intercambiadas.
B) $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 5y = 32 \end{cases}$ Correcto. Masa total = 10; Coste total = 10 kg · 3,2 €/kg = 32 €.
C) $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 5y = 3,2 \end{cases}$ Error al no multiplicar el precio medio por la cantidad total de kilos.
D) $\begin{cases} x - y = 10 \\ 2x - 5y = 32 \end{cases}$ No tiene sentido usar restas para totales.

💡 Explicación

En problemas de mezclas, solemos tener una ecuación para la cantidad total (

x + y = \text{Total}

) y otra para el valor o propiedad mezclada (

V_1x + V_2y = V_{\text{total}} \cdot \text{Total}

).

Bloom: Apply

Un estudiante en San Sebastián resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de Gauss.

¿Cuál es el objetivo principal del método de Gauss al aplicarlo a un sistema de ecuaciones?

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Respuesta correcta: D) Transformar el sistema en uno equivalente escalonado (triangular).

A) Hallar el valor de x directamente en el primer paso.Gauss requiere varios pasos de transformación.
B) Dibujar las tres rectas en el espacio.Eso es interpretación geométrica, no el objetivo del método algebraico.
C) Eliminar los términos independientes de todas las ecuaciones.Los términos independientes suelen cambiar de valor pero no deben eliminarse todos.
D) Transformar el sistema en uno equivalente escalonado (triangular).Correcto. Facilita la resolución mediante sustitución regresiva.

💡 Explicación

El método de Gauss consiste en realizar operaciones elementales entre las filas (ecuaciones) para conseguir una matriz de coeficientes triangular superior. Una vez hecho, la última incógnita se despeja directamente y las demás por sustitución hacia arriba.

Bloom: Apply

Un estudiante en Santander resuelve un sistema no lineal sencillo (recta y parábola).

Halla los puntos de corte de

y = x^2

y

y = x

.

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Respuesta correcta: C) (0, 0) y (1, 1)

A) Solo (1, 1)Falta el punto en el origen.
B) (0, 0) y (-1, 1)En x = -1, la recta da y = -1 y la parábola y = 1; no coinciden.
C) (0, 0) y (1, 1)Correcto. $x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0, x=1$ .
D) (1, 1) y (2, 4)El punto (2, 4) no está en la recta y=x.

💡 Explicación

Para resolver sistemas no lineales donde una variable está despejada en ambas, igualamos las expresiones. Obtenemos una ecuación de segundo grado cuyas raíces son las abscisas de los puntos de intersección.

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado en Madrid estudia el Teorema de Rouché-Frobenius para sistemas con parámetros.

¿Qué condición debe cumplirse para que un sistema sea compatible (tenga solución) según el Teorema de Rouché-Frobenius?

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Respuesta correcta: D) Que el rango de la matriz de coeficientes ( $A$ ) sea igual al rango de la matriz ampliada ( $A'$ ).

A) Que el determinante de la matriz de coeficientes sea cero.Esto indicaría que el rango no es máximo.
B) Que el número de ecuaciones sea igual al de incógnitas.Un sistema puede ser compatible con distinto número de ecuaciones e incógnitas.
C) Que todos los términos independientes sean nulos.Esto define un sistema homogéneo, que siempre es compatible, pero no es la condición general.
D) Que el rango de la matriz de coeficientes ( $A$ ) sea igual al rango de la matriz ampliada ( $A'$ ).Correcto. Esta es la condición fundamental de compatibilidad.

💡 Explicación

El Teorema de Rouché-Frobenius es la herramienta definitiva para discutir sistemas. Si

Rg(A) = Rg(A')

, el sistema es compatible. Si además este rango coincide con el número de incógnitas, es determinado; si es menor, es indeterminado.

Bloom: Apply

Se plantea la resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales mediante Gauss en un examen de acceso.

Resuelve el sistema:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z = 5 \\ z = 3 \end{cases}

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Respuesta correcta: B) $x=1, y=2, z=3$

A) $x=3, y=2, z=1$ La suma es 6, pero z no es 3.
B) $x=1, y=2, z=3$ Correcto. $z=3 \Rightarrow y+3=5 \Rightarrow y=2 \Rightarrow x+2+3=6 \Rightarrow x=1$ .
C) $x=2, y=2, z=2$ No cumple la tercera ecuación.
D) $x=1, y=3, z=2$ Con z = 2 la tercera ecuación se cumple, pero y = 3 haría que y + z = 5, no lo que pide la segunda ecuación.

💡 Explicación

Este es un sistema ya escalonado (triangular superior). Se resuelve por sustitución regresiva: empezamos por la última incógnita y vamos subiendo para hallar las anteriores.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Asturias explica las características de un sistema homogéneo.

¿Cuál es la propiedad fundamental de un sistema homogéneo (donde todos los términos independientes son cero)?

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Respuesta correcta: C) Siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial ( $0, 0, \dots, 0$ ).

A) Nunca tiene solución.Siempre tiene al menos una.
B) Siempre tiene infinitas soluciones.Puede tener solo la solución trivial si el determinante es distinto de cero.
C) Siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial ( $0, 0, \dots, 0$ ).Correcto. El punto origen siempre satisface una ecuación sin término independiente.
D) Solo tiene soluciones reales negativas.Admite soluciones positivas, negativas o nulas.

💡 Explicación

Un sistema homogéneo es aquel donde

Ax = 0

. Debido a que el vector nulo siempre satisface esta igualdad, el sistema nunca puede ser incompatible. La duda reside solo en si la solución es única (la trivial) o hay infinitas soluciones.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Málaga resuelve un sistema no lineal para hallar la intersección de una tubería recta con una estructura circular.

Halla las soluciones del sistema:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x + 1 \end{cases}

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Respuesta correcta: D) (3, 4) y (-4, -3)

A) (3, 4) solamente.Falta la segunda intersección.
B) (0, 5) y (5, 0)El punto (5, 0) no cumple la segunda ecuación ( $0 \neq 5+1$ ).
C) No tiene soluciones reales.La recta corta al círculo en dos puntos.
D) (3, 4) y (-4, -3)Correcto. $x^2 + (x+1)^2 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^2+x-12=0 \Rightarrow x=3, x=-4$ .

💡 Explicación

Sustituimos la expresión de

y

en la ecuación del círculo. Obtenemos una ecuación de segundo grado que nos da las dos posibles coordenadas

x

. Finalmente, hallamos las

y

correspondientes usando la ecuación de la recta.

Bloom: Analyze

Se analiza el rango de una matriz para discutir un sistema dependiente de $m$ .

Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema

3 \times 3

es distinto de cero, ¿qué tipo de sistema es?

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Respuesta correcta: A) Compatible Determinado.

A) Compatible Determinado.Correcto. Si $|A| \neq 0$ , el rango es 3 (igual al número de incógnitas), por lo que hay una solución única.
B) Compatible Indeterminado.El rango sería menor que 3 en ese caso.
C) Incompatible.Con determinante no nulo, el sistema siempre tiene solución.
D) Sistema Homogéneo Indeterminado.Los homogéneos son determinados si el determinante es no nulo.

💡 Explicación

Para sistemas cuadrados (mismo número de ecuaciones que de incógnitas), el determinante de la matriz de coeficientes es el indicador clave: si es no nulo, el sistema es compatible determinado.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve un sistema donde una ecuación es logarítmica.

Resuelve:

\begin{cases} \log x + \log y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}

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Respuesta correcta: D) $x=2, y=5$ (y viceversa)

A) $x=1, y=6$ $\log 1 + \log 6 = \log 6 \neq 1$ .
B) $x=3, y=4$ El producto es 12, no 10.
C) $x=10, y=-3$ El logaritmo de -3 no existe.
D) $x=2, y=5$ (y viceversa)Correcto. $\log(xy)=1 \Rightarrow xy=10$ . Los números que suman 7 y multiplican 10 son 2 y 5.

💡 Explicación

Transformamos la ecuación logarítmica en una algebraica:

xy = 10^1 = 10

. El sistema se convierte en buscar dos números conocida su suma (7) y su producto (10), lo que lleva a una ecuación de segundo grado.

Bloom: Analyze

Un programador en Madrid usa la Regla de Cramer para resolver sistemas pequeños en un motor gráfico.

¿Cuál es la limitación principal de la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones?

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Respuesta correcta: A) Solo se puede aplicar a sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y determinante no nulo.

A) Solo se puede aplicar a sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y determinante no nulo.Correcto. Requiere que la matriz de coeficientes sea cuadrada e inversible.
B) Solo sirve para sistemas incompatibles.Solo sirve para sistemas compatibles determinados.
C) Es un método gráfico muy impreciso.Es un método analítico exacto basado en determinantes.
D) Solo funciona si todas las soluciones son enteras.Funciona para cualquier solución real o compleja.

💡 Explicación

La Regla de Cramer es elegante pero restrictiva: requiere una matriz cuadrada y con determinante no nulo. Además, computacionalmente es ineficiente para sistemas grandes comparada con el método de Gauss.

Bloom: Evaluate

Se plantea la discusión de un sistema con un parámetro $a$ en la matriz ampliada.

En un sistema con

Rg(A) = 2

y

Rg(A') = 3

, ¿qué podemos afirmar sobre sus soluciones?

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Respuesta correcta: B) Es un sistema incompatible (no tiene solución).

A) Tiene infinitas soluciones dependiendo de un parámetro.Eso ocurriría si los rangos fueran iguales a 2.
B) Es un sistema incompatible (no tiene solución).Correcto. Al ser los rangos distintos, el sistema es inconsistente.
C) Tiene una solución única.Los rangos deberían ser iguales y coincidir con las incógnitas.
D) Es un sistema homogéneo determinado.Los sistemas homogéneos nunca tienen rangos distintos entre A y A'.

💡 Explicación

La desigualdad de rangos (

Rg(A) < Rg(A')

) implica que el vector de términos independientes no puede expresarse como combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes, lo que imposibilita la existencia de solución.

Bloom: Analyze

Un estudiante de ingeniería analiza un sistema indeterminado con 3 incógnitas y rango 2.

¿De cuántos parámetros dependerá la solución de un sistema de 3 incógnitas con

Rg(A) = Rg(A') = 2

?

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Respuesta correcta: C) 1 parámetro.

A) 2 parámetros.El rango tendría que ser 1.
B) Ningún parámetro (solución única).El rango tendría que ser 3.
C) 1 parámetro.Correcto. $n - Rg = 3 - 2 = 1$ .
D) No tiene solución.Los rangos son iguales, por lo que es compatible.

💡 Explicación

El número de parámetros (grados de libertad) de un sistema compatible indeterminado es la diferencia entre el número de incógnitas (

n

) y el rango de la matriz del sistema.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre un sistema donde los coeficientes forman una progresión.

Determina el valor de

x

e

y

en:

\begin{cases} x + y = a \\ x - y = b \end{cases}

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Respuesta correcta: C) $x = (a+b)/2, y = (a-b)/2$

A) $x = a+b, y = a-b$ Falta dividir por 2.
B) $x = ab, y = a/b$ Fórmulas incorrectas.
C) $x = (a+b)/2, y = (a-b)/2$ Correcto. Al sumar las ecuaciones $2x = a+b$ ; al restarlas $2y = a-b$ .
D) $x = a, y = b$ No cumple el sistema original.

💡 Explicación

Esta es la resolución general de un sistema de suma y diferencia. Las soluciones son siempre la semisuma y la semidiferencia de los términos independientes. Es un patrón algebraico muy frecuente.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?