Inecuaciones Valor Absoluto — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid repasa los símbolos de desigualdad para comparar conjuntos de números.

¿Cuál de los siguientes símbolos representa la relación "menor o igual que"?

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Respuesta correcta: C) ≤

A) >Este símbolo significa mayor que.
B) <Este símbolo significa estrictamente menor que.
C) ≤Correcto. Representa que el primer valor es menor o igual al segundo.
D) ≠Este símbolo significa distinto de.

💡 Explicación

Los símbolos de desigualdad (

<, >, \leq, \geq

) definen relaciones de orden en la recta real. El símbolo

\leq

incluye la posibilidad de igualdad, lo que en términos de intervalos se traduce en un extremo cerrado.

Bloom: Understand

Se explica la definición de valor absoluto en una clase de álgebra en Barcelona.

¿Cuál es la interpretación geométrica del valor absoluto de un número

|a|

?

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Respuesta correcta: A) La distancia del número $a$ al origen (cero) en la recta real.

A) La distancia del número $a$ al origen (cero) en la recta real.Correcto. Por definición, la distancia siempre es no negativa.
B) El doble del número $a$ .No existe tal relación directa.
C) El opuesto del número $a$ .Solo coinciden si $a$ es negativo.
D) El recíproco del número $a$ .El recíproco es $1/a$ .

💡 Explicación

El valor absoluto

|a|

mide la magnitud del número sin tener en cuenta su signo. Geométricamente, representa cuántas unidades de distancia separan al punto

a

del punto

0

en la recta numérica.

Bloom: Apply

Un estudiante en Valencia resuelve una inecuación lineal sencilla.

Resuelve la inecuación:

2x - 4 < 6

.

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Respuesta correcta: D) $x < 5$

A) $x < 1$ Error al despejar los términos.
B) $x > 5$ Se ha cambiado el sentido de la desigualdad sin motivo.
C) $x < 2$ Error de cálculo.
D) $x < 5$ Correcto. $2x < 10 \Rightarrow x < 5$ .

💡 Explicación

Para resolver inecuaciones lineales, aplicamos pasos similares a las ecuaciones: aislamos la

x

realizando operaciones inversas en ambos miembros, manteniendo el sentido de la desigualdad si multiplicamos/dividimos por números positivos.

Bloom: Understand

Un examen en Sevilla pregunta por la representación de intervalos.

¿Qué intervalo representa al conjunto de números reales

x

tales que

-2 \leq x < 3

?

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Respuesta correcta: D) $[-2, 3)$

A) $(-2, 3)$ Ambos extremos deberían ser abiertos.
B) $[-2, 3]$ Ambos extremos deberían ser cerrados.
C) $(-2, 3]$ El -2 debería ser cerrado y el 3 abierto.
D) $[-2, 3)$ Correcto. El corchete indica que incluye el -2 (menor o igual) y el paréntesis excluye al 3 (estrictamente menor).

💡 Explicación

La notación de intervalos usa corchetes

[ \ ]

para extremos incluidos (desigualdad débil) y paréntesis

( \ )

para extremos excluidos (desigualdad fuerte).

Bloom: Apply

Un estudiante en Bilbao resuelve una inecuación lineal con un coeficiente negativo.

Resuelve la inecuación:

-3x + 1 \geq 7

.

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Respuesta correcta: B) $x \leq -2$

A) $x \geq -2$ Error al no invertir la desigualdad.
B) $x \leq -2$ Correcto. $-3x \geq 6$ . Al dividir por -3, se invierte la desigualdad: $x \leq 6/(-3) = -2$ .
C) $x \leq 2$ Error de signo.
D) $x \geq 2$ Error de signo y de sentido de desigualdad.

💡 Explicación

La regla de oro de las inecuaciones: al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad DEBE invertirse para mantener la veracidad de la proposición.

Bloom: Apply

Un técnico en Zaragoza mide la tolerancia de una pieza mecánica usando valor absoluto.

Halla los valores de

x

que cumplen:

|x| < 4

.

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Respuesta correcta: D) $-4 < x < 4$

A) $x < 4$ Solo considera los números positivos.
B) $x > -4$ Solo considera un límite inferior.
C) $x < -4$ o $x > 4$ Esto representaría $|x| > 4$ .
D) $-4 < x < 4$ Correcto. El valor absoluto menor que una constante define un intervalo centrado en el origen.

💡 Explicación

La inecuación

|x| < k

(con

k > 0

) equivale al intervalo abierto

(-k, k)

. Representa a todos los puntos cuya distancia al cero es menor que

k

unidades.

Bloom: Apply

Un estudiante en San Sebastián resuelve una inecuación de segundo grado.

¿Cuál es el conjunto solución de

x^2 - 4 \leq 0

?

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Respuesta correcta: C) $[-2, 2]$

A) $x \leq 2$ Falta el límite inferior.
B) $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ En estos intervalos la expresión es positiva.
C) $[-2, 2]$ Correcto. Las raíces son -2 y 2. Entre ellas, la parábola es negativa o cero.
D) $[-4, 4]$ Error al identificar las raíces.

💡 Explicación

Para inecuaciones cuadráticas, hallamos las raíces del polinomio y estudiamos el signo en los intervalos resultantes. Como la parábola

x^2-4

abre hacia arriba, los valores negativos se encuentran entre las dos raíces.

Bloom: Understand

Se plantea la solución de un sistema de dos inecuaciones lineales.

¿Cuál es la solución del sistema

\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 5 \end{cases}

?

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Respuesta correcta: D) $(1, 5]$

A) $[1, 5]$ El 1 debe ser abierto.
B) $(1, 5)$ El 5 debe ser cerrado.
C) No tiene solución.Los intervalos se solapan, por lo que sí hay solución.
D) $(1, 5]$ Correcto. Es la intersección de ambos conjuntos.

💡 Explicación

La solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las soluciones individuales. Es el conjunto de puntos que satisfacen TODAS las condiciones a la vez.

Bloom: Apply

Un estudiante en Santander resuelve una ecuación sencilla con valor absoluto.

Resuelve:

|x - 3| = 5

.

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Respuesta correcta: D) $x = 8$ y $x = -2$

A) $x = 8$ solamente.Falta la solución para el caso negativo.
B) $x = 2$ y $x = -8$ Error de signos en el despeje.
C) $x = 5$ y $x = 3$ Valores que no satisfacen la igualdad.
D) $x = 8$ y $x = -2$ Correcto. $x-3=5 \Rightarrow x=8$ ; $x-3=-5 \Rightarrow x=-2$ .

💡 Explicación

La ecuación

|A| = b

se divide en dos casos:

A = b

o

A = -b

. Resolvemos ambas ecuaciones lineales para obtener los dos posibles valores de

x

.

Bloom: Apply

Un comerciante en Málaga sabe que su beneficio $B$ debe cumplir $B \geq 500$ para cubrir gastos. Si $B = 10x - 100$ , donde $x$ es el número de ventas.

¿Cuál es el número mínimo de ventas

x

necesarias?

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Respuesta correcta: C) 60

A) 40 $10(40)-100 = 300 < 500$ .
B) 50 $10(50)-100 = 400 < 500$ .
C) 60Correcto. $10x - 100 \geq 500 \Rightarrow 10x \geq 600 \Rightarrow x \geq 60$ .
D) 70Aunque cumple la condición, no es el valor mínimo.

💡 Explicación

Planteamos la inecuación basada en el enunciado y despejamos la variable. El resultado nos da el umbral a partir del cual la condición se cumple.

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado analiza el dominio de una función con raíz cuadrada.

¿Para qué valores de

x

está definida la función

f(x) = \sqrt{9 - x^2}

en los reales?

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Respuesta correcta: B) $[-3, 3]$

A) $x \leq 3$ No considera los valores muy negativos (ej. -4) que harían el radicando negativo.
B) $[-3, 3]$ Correcto. El radicando debe ser no negativo: $9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow |x| \leq 3$ .
C) $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ En este caso el radicando sería negativo.
D) Solo para $x = 3$ .Hay infinitos puntos que cumplen la condición.

💡 Explicación

El dominio de una raíz par requiere que el radicando sea mayor o igual a cero. Esto nos lleva a resolver una inecuación cuadrática cuya solución es el intervalo entre las raíces de la expresión.

Bloom: Apply

En un laboratorio en Valencia, se requiere que la temperatura $T$ no varíe más de 2 grados respecto a los $20^{\circ}\text{C}$ .

¿Qué inecuación con valor absoluto representa esta restricción?

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Respuesta correcta: B) $|T - 20| \leq 2$

A) $|T| \leq 2$ Esto diría que la temperatura está cerca de 0.
B) $|T - 20| \leq 2$ Correcto. La distancia entre T y 20 debe ser menor o igual a 2.
C) $|T + 20| \leq 2$ Error de signo en la fórmula de la distancia.
D) $|2T - 20| \leq 2$ No corresponde a la variación simple de la temperatura.

💡 Explicación

La expresión

|x - a| \leq k

representa todos los valores

x

cuya distancia al punto central

a

es como máximo

k

. Es la forma estándar de expresar tolerancias y rangos de error.

Bloom: Analyze

Un estudiante estudia la inecuación del valor absoluto para valores grandes.

¿Cuál es la solución de

|x + 1| \geq 3

?

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Respuesta correcta: D) $(-\infty, -4] \cup [2, \infty)$

A) $[-4, 2]$ Esta es la solución para la desigualdad menor o igual.
B) $[2, \infty)$ Falta la rama negativa de la solución.
C) No tiene solución.Los valores alejados del centro sí cumplen la condición.
D) $(-\infty, -4] \cup [2, \infty)$ Correcto. $x+1 \geq 3 \Rightarrow x \geq 2$ o $x+1 \leq -3 \Rightarrow x \leq -4$ .

💡 Explicación

La inecuación

|A| \geq k

se descompone en la unión de dos intervalos:

A \geq k

o

A \leq -k

. Representa los puntos que están "lejos" del centro.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve una inecuación racional analizando el signo del cociente.

¿Para qué valores de

x

se cumple que

\frac{x-1}{x+2} > 0

?

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Respuesta correcta: D) $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$

A) $x > 1$ Falta el intervalo donde ambos términos son negativos.
B) $(-2, 1)$ En este intervalo los signos son distintos, por lo que el cociente es negativo.
C) $x \neq -2$ Esto solo asegura que la expresión esté definida, no que sea positiva.
D) $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ Correcto. El cociente es positivo si ambos tienen el mismo signo (ambos + o ambos -).

💡 Explicación

Para inecuaciones racionales, marcamos los puntos donde se anulan el numerador (1) y el denominador (-2). Estudiamos el signo del cociente en los tres intervalos resultantes. El cociente es positivo donde numerador y denominador coinciden en signo.

Bloom: Analyze

Se analiza una inecuación cuadrática que no tiene raíces reales.

¿Cuál es el conjunto solución de

x^2 + x + 5 < 0

?

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Respuesta correcta: B) Conjunto vacío ( $\emptyset$ ).

A) Todos los reales ( $\mathbb{R}$ ).La parábola siempre está por encima del eje X.
B) Conjunto vacío ( $\emptyset$ ).Correcto. El discriminante es $1-20=-19 < 0$ . Como abre hacia arriba y no corta al eje, nunca es negativa.
C) Solo $x = 0$ . $0^2+0+5 = 5$ , que no es menor que 0.
D) $x < -5$ .No satisface la inecuación.

💡 Explicación

Si un polinomio de segundo grado tiene discriminante negativo y coeficiente principal positivo, su valor es siempre positivo para cualquier

x

real. Por tanto, la inecuación "menor que cero" no tiene solución.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve una inecuación con valor absoluto doble.

¿Qué valores satisfacen

|2x - 1| = |x + 5|

?

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Respuesta correcta: B) $x = 6$ y $x = -4/3$

A) $x = 6$ solamente.Falta la segunda solución del caso con signos opuestos.
B) $x = 6$ y $x = -4/3$ Correcto. Caso 1: $2x-1 = x+5 \Rightarrow x=6$ . Caso 2: $2x-1 = -(x+5) \Rightarrow 3x=-4 \Rightarrow x=-4/3$ .
C) $x = 4$ y $x = -6$ .Error de cálculo al despejar.
D) No tiene solución.Existen dos puntos donde las distancias coinciden.

💡 Explicación

La igualdad de valores absolutos

|A| = |B|

equivale a

A = B

o

A = -B

. Resolvemos las dos ecuaciones resultantes para hallar los puntos de equilibrio.

Bloom: Analyze

Un programador en una startup en Madrid optimiza un rango de búsqueda usando inecuaciones.

Resuelve la inecuación:

\frac{1}{x} < 2

.

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Respuesta correcta: B) $(-\infty, 0) \cup (1/2, \infty)$

A) $x > 1/2$ Falta considerar el comportamiento de los números negativos.
B) $(-\infty, 0) \cup (1/2, \infty)$ Correcto. Si x es negativo, siempre es menor que 2. Si x es positivo, $1 < 2x \Rightarrow x > 1/2$ .
C) $(0, 1/2)$ Aquí $1/x$ es mayor que 2.
D) $x < 1/2$ Error al no tratar el cambio de signo en el 0.

💡 Explicación

Al resolver inecuaciones donde la incógnita está en el denominador, no podemos simplemente multiplicar por

x

sin conocer su signo. El método más seguro es pasar todo a un miembro, operar la fracción y estudiar los signos de los intervalos.

Bloom: Evaluate

Se plantea una inecuación de grado superior mediante factorización.

¿Cuál es la solución de

(x-1)(x-2)(x-3) > 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $(1, 2) \cup (3, \infty)$

A) $(1, 2) \cup (3, \infty)$ Correcto. Analizando los signos en los intervalos $(-\infty,1), (1,2), (2,3), (3,\infty)$ .
B) $x > 3$ Falta el intervalo intermedio donde el producto vuelve a ser positivo.
C) $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ En estos intervalos el producto es negativo.
D) Todos los reales excepto 1, 2 y 3.El producto alterna su signo en cada raíz.

💡 Explicación

Para inecuaciones polinómicas de grado

>2

, usamos el método de los intervalos (o cementerio de signos). Las raíces dividen la recta en zonas donde el signo es constante. Como todas las raíces son simples, el signo cambia en cada una de ellas.

Bloom: Analyze

Un estudiante de ingeniería analiza la relación entre el cuadrado de un número y su valor absoluto.

¿Qué afirmación es siempre cierta para cualquier número real

x

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\sqrt{x^2} = |x|$

A) $x^2 < |x|$ Falso para $|x| > 1$ .
B) $\sqrt{x^2} = |x|$ Correcto. El resultado de la raíz cuadrada principal es siempre la magnitud no negativa del número.
C) $\sqrt{x^2} = x$ Solo es cierto si x es no negativo.
D) $|x|^2 = -x^2$ El cuadrado de una magnitud real nunca es negativo.

💡 Explicación

Esta es una identidad fundamental en análisis: la raíz cuadrada del cuadrado de un número no devuelve el número original (si este era negativo), sino su valor absoluto. Es una fuente común de errores en la resolución de ecuaciones.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre inecuaciones con valor absoluto anidado.

Halla la solución de

||x| - 2| \leq 1

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $[-3, -1] \cup [1, 3]$

A) $[1, 3]$ Falta la parte simétrica negativa.
B) $[-1, 1]$ Valor incorrecto.
C) $[-3, -1] \cup [1, 3]$ Correcto. $-1 \leq |x| - 2 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq |x| \leq 3$ . Esto da dos intervalos simétricos.
D) No tiene solución.Los valores de x con magnitud entre 1 y 3 satisfacen la condición.

💡 Explicación

Resolvemos de fuera hacia adentro. La primera desigualdad implica que el interior

|x|-2

está entre -1 y 1. Despejando

|x|

, vemos que su valor debe estar entre 1 y 3, lo que genera dos zonas en la recta real.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?