Funcion Lineal Afin — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid estudia la expresión analítica de las funciones de primer grado.

En la expresión de una función afín

f(x) = mx + n

, ¿qué nombre recibe el parámetro

m

?

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Respuesta correcta: B) Pendiente

A) Ordenada en el origenLa ordenada en el origen es el parámetro n.
B) PendienteCorrecto. Indica la inclinación de la recta y la tasa de variación.
C) Variable dependienteLa variable dependiente es f(x) o y.
D) DominioEl dominio es el conjunto de valores que puede tomar x.

💡 Explicación

La pendiente

m

representa la inclinación de la recta respecto al eje de abscisas. Si

m > 0

la función es creciente; si

m < 0

es decreciente; y si

m = 0

es constante (una recta horizontal).

Bloom: Understand

Se analiza el punto de corte con el eje vertical en una clase en Barcelona.

¿Cuál es la ordenada en el origen de la función

f(x) = -2x + 5

?

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Respuesta correcta: B) 5

A) -2Esta es la pendiente de la recta.
B) 5Correcto. Es el valor de la función cuando x = 0.
C) 2,5Este es el punto de corte con el eje X.
D) 0La recta corta al eje Y en y = 5.

💡 Explicación

La ordenada en el origen (

n

) es el valor de la imagen para

x = 0

. Gráficamente, corresponde al punto

(0, n)

donde la recta cruza el eje vertical (eje de ordenadas).

Bloom: Apply

Un estudiante en Valencia calcula la imagen de un valor para una función de costes.

Dada la función lineal

g(x) = 3x

, ¿cuál es el valor de

g(-4)

?

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Respuesta correcta: A) -12

A) -12Correcto. $3 \cdot (-4) = -12$ .
B) -7Error al sumar en lugar de multiplicar.
C) 12Error de signo en la multiplicación.
D) -1Error de cálculo.

💡 Explicación

Para hallar la imagen de un valor, sustituimos la variable

x

por dicho valor en la expresión analítica y realizamos la operación indicada. En las funciones lineales puras (

y = mx

), la gráfica siempre pasa por el origen

(0,0)

.

Bloom: Understand

Un examen en Sevilla pregunta por la distinción entre función lineal y afín.

¿Cuál de las siguientes funciones representa una función afín que NO es puramente lineal (no pasa por el origen)?

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Respuesta correcta: C) $f(x) = 5x - 2$

A) $f(x) = 5x$ Es una función lineal pura, pasa por (0,0).
B) $f(x) = x^2$ Es una función cuadrática, no lineal ni afín.
C) $f(x) = 5x - 2$ Correcto. Tiene pendiente 5 y ordenada en el origen -2.
D) $f(x) = 7$ Es una función constante.

💡 Explicación

Aunque a menudo se usan indistintamente, la función lineal pura tiene la forma

y = mx

(

n=0

), mientras que la afín es

y = mx + n

con

n \neq 0

.

Bloom: Apply

Un estudiante en Bilbao debe hallar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados.

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos

A(1, 2)

y

B(3, 8)

.

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Respuesta correcta: C) 3

A) 2Error en el cálculo de la diferencia de ordenadas o abscisas.
B) 1/3Se ha calculado la diferencia de X entre la de Y (inversa de la pendiente).
C) 3Correcto. $m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3$ .
D) 6Se ha olvidado dividir por la diferencia de las abscisas.

💡 Explicación

La pendiente se define como la razón entre la variación de la

y

(

\Delta y

) y la variación de la

x

(

\Delta x

). Fórmula:

m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)

.

Bloom: Apply

Un mensajero en Zaragoza cobra una tarifa fija de 5 € más 2 € por cada kilómetro recorrido.

¿Cuál es la función que relaciona el coste total

C

con los kilómetros

x

?

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Respuesta correcta: B) $C(x) = 2x + 5$

A) $C(x) = 5x + 2$ Aquí 5 sería el coste por km y 2 la tarifa fija.
B) $C(x) = 2x + 5$ Correcto. El término variable depende de x y la constante es la tarifa fija.
C) $C(x) = 7x$ No distingue entre parte fija y variable.
D) $C(x) = 2,5x$ Mezcla de los valores numéricos sin lógica estructural.

💡 Explicación

Los problemas de tarifas son aplicaciones directas de las funciones afines. La tasa variable por unidad es la pendiente y el cargo fijo inicial es la ordenada en el origen.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza la posición relativa de dos rectas en el plano.

¿Qué condición deben cumplir dos rectas para ser paralelas?

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Respuesta correcta: C) Tener la misma pendiente ( $m_1 = m_2$ ).

A) Tener la misma ordenada en el origen ( $n_1 = n_2$ ).Esto solo significa que cortan al eje Y en el mismo punto.
B) Que sus pendientes sean recíprocas y opuestas.Esta es la condición de perpendicularidad.
C) Tener la misma pendiente ( $m_1 = m_2$ ).Correcto. Si tienen la misma inclinación, nunca se cortarán (a menos que sean la misma).
D) Que el producto de sus pendientes sea 1.Condición incorrecta.

💡 Explicación

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Si además tienen distinta ordenada en el origen, son paralelas no coincidentes.

Bloom: Apply

Un fontanero en Murcia aplica una función afín para sus facturas. Por 2 horas cobra 70 € y por 5 horas cobra 130 €.

¿Cuál es el precio por hora (pendiente) de este fontanero?

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Respuesta correcta: B) 20 €/h

A) 35 €/hEsto sería si no hubiera un cargo fijo por desplazamiento.
B) 20 €/hCorrecto. $m = (130 - 70) / (5 - 2) = 60 / 3 = 20$ .
C) 26 €/hCálculo incorrecto.
D) 60 €/hEsta es la diferencia total, no el precio por hora.

💡 Explicación

Identificamos los puntos

(2, 70)

y

(5, 130)

. Calculamos la pendiente usando la fórmula de la tasa de variación media, que en las rectas es constante e igual a la pendiente.

Bloom: Apply

Un estudiante en San Sebastián halla el punto de corte con el eje de abscisas.

¿En qué punto corta al eje X la función

f(x) = 4x - 12

?

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Respuesta correcta: C) (3, 0)

A) (0, -12)Este es el corte con el eje Y.
B) (-3, 0)Error de signo al despejar.
C) (3, 0)Correcto. $4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$ .
D) (12, 0)Error de cálculo.

💡 Explicación

El corte con el eje X (raíz de la función) se halla igualando la función a cero (

y=0

) y resolviendo la ecuación para

x

.

Bloom: Apply

Se busca la ecuación de una recta conociendo su pendiente y un punto.

Halla la ecuación de la recta con pendiente

m = -1

que pasa por el punto

(2, 3)

.

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Respuesta correcta: A) $y = -x + 5$

A) $y = -x + 5$ Correcto. $3 = -1(2) + n \Rightarrow 3 = -2 + n \Rightarrow n = 5$ .
B) $y = -x + 1$ El punto (2,3) no la cumple: -2+1 = -1 ≠ 3.
C) $y = -x + 3$ Error al hallar n.
D) $y = x + 5$ La pendiente debe ser negativa.

💡 Explicación

Usamos la forma punto-pendiente o la forma explícita

y = mx + n

. Sustituimos el punto dado y la pendiente para despejar el valor de

n

(ordenada en el origen).

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado en Madrid analiza la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente.

Si una recta forma un ángulo de

45^{\circ}

con la dirección positiva del eje X, ¿cuál es su pendiente?

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Respuesta correcta: D) 1

A) 0Esto corresponde a un ángulo de 0º.
B) -1Esto corresponde a un ángulo de 135º.
C) $\infty$ Esto corresponde a una recta vertical (90º).
D) 1Correcto. La pendiente es la tangente del ángulo: $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ .

💡 Explicación

Existe una relación directa entre la trigonometría y la geometría analítica: la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación que forma con el eje positivo de las abscisas.

Bloom: Apply

Se plantea la obtención de la ecuación general a partir de la explícita.

Expresa en forma general (

Ax + By + C = 0

) la función

y = \frac{2}{3}x - 4

.

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Respuesta correcta: D) $2x - 3y - 12 = 0$

A) $2x + 3y - 4 = 0$ Error al despejar los términos.
B) $2x - 3y + 4 = 0$ Error en el signo o en el producto del término independiente.
C) $3x - 2y - 12 = 0$ Coeficientes de x e y intercambiados.
D) $2x - 3y - 12 = 0$ Correcto. Multiplicamos por 3: $3y = 2x - 12$ . Pasamos al mismo miembro: $2x - 3y - 12 = 0$ .

💡 Explicación

La forma general de la recta agrupa todos los términos en un miembro, igualando a cero. Es preferible que los coeficientes

A, B, C

sean números enteros, por lo que eliminamos denominadores multiplicando toda la ecuación.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Asturias explica por qué una recta vertical no es una función.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta que NO es una función de

x

?

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Respuesta correcta: A) $x = 2$

A) $x = 2$ Correcto. Es una recta vertical; para un valor de x existen infinitos de y, violando la definición de función.
B) $y = 3$ Es una función constante.
C) $y = x$ Es la función identidad.
D) $x + y = 0$ Es la función $y = -x$ .

💡 Explicación

Una relación es función si a cada elemento del dominio le corresponde un ÚNICO elemento del codominio. Las rectas verticales asignan infinitas imágenes al mismo valor de

x

, por lo que son curvas en el plano pero no funciones.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Málaga calcula la intersección de dos trayectorias rectilíneas.

Halla el punto de corte de las rectas

r: y = 2x - 1

y

s: y = -x + 5

.

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Respuesta correcta: A) (2, 3)

A) (2, 3)Correcto. $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ . Entonces $y = 2(2)-1 = 3$ .
B) (3, 2) $2(3)-1=5 \neq 2$ .
C) (1, 1)No cumple ninguna de las dos ecuaciones.
D) (0, 5)Punto de la recta s, pero no de la r.

💡 Explicación

El punto de corte de dos funciones se halla resolviendo el sistema formado por sus expresiones analíticas. Es el único punto

(x, y)

cuyas coordenadas satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

Bloom: Analyze

Se analiza la perpendicularidad en un diseño de cuadrícula.

¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a

y = \frac{1}{2}x + 3

?

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Respuesta correcta: D) -2

A) 1/2Esta es la pendiente de una recta paralela.
B) -1/2Solo se ha cambiado el signo, no es suficiente.
C) 2Falta el cambio de signo.
D) -2Correcto. La pendiente perpendicular es la opuesta e inversa: $-1 / (1/2) = -2$ .

💡 Explicación

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es

-1

(

m_1 \cdot m_2 = -1

). Prácticamente, invertimos la fracción de la pendiente original y le cambiamos el signo.

Bloom: Apply

Un estudiante calcula la tasa de variación media en un intervalo para una función afín.

¿Cuál es la Tasa de Variación Media (TVM) de

f(x) = -3x + 8

en el intervalo

[1, 5]

?

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Respuesta correcta: C) -3

A) -12Esta es la variación total de la y, no la tasa media.
B) 3Error de signo.
C) -3Correcto. En las funciones afines, la TVM es constante e igual a la pendiente en cualquier intervalo.
D) 4Esta es la longitud del intervalo (5-1), no la tasa.

💡 Explicación

Una característica única de las funciones de primer grado es que su crecimiento/decrecimiento es uniforme. Por tanto, la tasa de variación media en cualquier intervalo coincide siempre con el valor de la pendiente

m

.

Bloom: Analyze

Un programador en una startup en Madrid interpola una función lineal entre dos lecturas de sensores.

Halla la ecuación de la recta que pasa por

(1, 5)

y

(-2, -1)

.

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Respuesta correcta: A) $y = 2x + 3$

A) $y = 2x + 3$ Correcto. $m = (-1 - 5) / (-2 - 1) = -6 / -3 = 2$ . Luego $5 = 2(1) + n \Rightarrow n = 3$ .
B) $y = 3x + 2$ El punto (1,5) da 3+2=5, pero (-2,-1) da -6+2=-4.
C) $y = 2x - 3$ Error de signo en la ordenada en el origen.
D) $y = x + 4$ Pendiente incorrecta.

💡 Explicación

Para hallar la ecuación que pasa por dos puntos, calculamos primero la pendiente

m

y luego usamos uno de los puntos para hallar

n

. Es el proceso básico de modelización lineal.

Bloom: Evaluate

Se plantea la alineación de tres puntos en el plano.

¿Están alineados los puntos

P(0, 1)

,

Q(1, 3)

y

R(2, 5)

?

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Respuesta correcta: A) Sí, porque la pendiente entre P y Q es la misma que entre Q y R.

A) Sí, porque la pendiente entre P y Q es la misma que entre Q y R.Correcto. $m_{PQ} = (3-1)/(1-0) = 2$ y $m_{QR} = (5-3)/(2-1) = 2$ .
B) No, forman un triángulo de área pequeña.Al tener la misma pendiente, el área del triángulo que formarían es cero.
C) Solo si la recta es horizontal.Pueden estar alineados con cualquier pendiente.
D) Sí, porque las coordenadas X son consecutivas.Esto no garantiza la alineación si las Y no siguen la misma progresión.

💡 Explicación

Tres puntos están alineados si pertenecen a la misma recta. Analíticamente, esto se comprueba verificando que la pendiente calculada con el primer y segundo punto es igual a la pendiente calculada con el segundo y el tercero.

Bloom: Analyze

Un estudiante de ingeniería analiza la distancia de un punto a una recta en un diseño de piezas.

¿Cuál es la distancia del punto

(0, 0)

a la recta

3x + 4y - 10 = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 2 unidades

A) 10 unidadesSolo se ha tomado el término C.
B) 2 unidadesCorrecto. $d = |3(0) + 4(0) - 10| / \sqrt{3^2 + 4^2} = 10 / 5 = 2$ .
C) 5 unidadesError al aplicar la fórmula.
D) $\sqrt{10}$ unidadesError de cálculo.

💡 Explicación

La distancia de un punto

P(x_0, y_0)

a una recta

Ax+By+C=0

viene dada por la fórmula

d = |Ax_0 + By_0 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}

. Es una aplicación avanzada de la geometría analítica.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre una familia de rectas que dependen de un parámetro $k$ .

¿Para qué valor de

k

las rectas

y = kx + 2

e

y = (2k-3)x + 5

son paralelas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $k = 3$

A) $k = 3$ Correcto. Pendientes iguales: $k = 2k - 3 \Rightarrow k = 3$ .
B) $k = 0$ Las pendientes serian 0 y -3.
C) $k = 1$ Pendientes 1 y -1 (serían perpendiculares).
D) $k = 2$ Pendientes 2 y 1.

💡 Explicación

Igualamos las expresiones de las pendientes que dependen del parámetro

k

. Resolvemos la ecuación resultante para hallar el valor exacto que hace que ambas rectas tengan la misma inclinación.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?