Funcion Cuadratica — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid estudia la forma de las funciones de segundo grado.

¿Qué nombre recibe la curva característica que representa gráficamente a una función cuadrática?

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Respuesta correcta: A) Parábola

A) ParábolaCorrecto. Es la curva simétrica en forma de U (o U invertida) característica de los polinomios de grado 2.
B) HipérbolaLa hipérbola corresponde a funciones racionales de tipo y=k/x.
C) ElipseLa elipse no es la gráfica de una función simple de tipo y=f(x).
D) RectaLa recta corresponde a funciones lineales o afines.

💡 Explicación

La función cuadrática

f(x) = ax^2 + bx + c

genera siempre una parábola. Su orientación (hacia arriba o hacia abajo) depende del signo del coeficiente principal

a

.

Bloom: Understand

Se analiza el punto más bajo de una trayectoria en una clase en Barcelona.

En una parábola que abre hacia arriba (

a > 0

), ¿cómo se denomina al punto donde la función alcanza su valor mínimo?

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Respuesta correcta: A) Vértice

A) VérticeCorrecto. El vértice es el punto de inflexión donde la función cambia de decreciente a creciente (o viceversa).
B) FocoEl foco es un punto interno de la parábola pero no pertenece a la curva.
C) DirectrizLa directriz es una recta, no un punto.
D) Eje de simetríaEs la recta vertical que pasa por el vértice.

💡 Explicación

El vértice

(x_v, y_v)

es el punto crítico de la parábola. Representa el valor máximo o mínimo absoluto de la función cuadrática en todo su dominio.

Bloom: Apply

Un estudiante en Valencia calcula la coordenada $x$ del vértice de una parábola.

¿Cuál es la abscisa del vértice (

x_v

) de la función

f(x) = x^2 - 6x + 5

?

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Respuesta correcta: D) 3

A) 6Se ha olvidado dividir por 2a.
B) -3Error de signo en la fórmula.
C) 0Este sería el valor si b fuera cero.
D) 3Correcto. Usando la fórmula $x_v = -b / 2a$ : $x_v = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$ .

💡 Explicación

La abscisa del vértice de una parábola

y = ax^2 + bx + c

se encuentra siempre en

x = -b / 2a

. Este punto también define la posición del eje de simetría vertical de la curva.

Bloom: Understand

Un examen en Sevilla pregunta por el efecto del coeficiente $a$ en la gráfica.

Si en la función

f(x) = ax^2 + bx + c

, el coeficiente

a

es negativo, ¿hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola?

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Respuesta correcta: A) Hacia abajo (cóncava).

A) Hacia abajo (cóncava).Correcto. Un coeficiente principal negativo invierte la parábola, situando el vértice en el máximo.
B) Hacia arriba (convexa).Esto ocurre si a > 0.
C) Hacia la derecha.Con $a<0$ la parábola se abre hacia abajo y hacia la derecha en el eje, no hacia la derecha en el plano.
D) Hacia la izquierda.Las funciones $y=f(x)$ no abren lateralmente; la dirección depende del signo de $a$ en el eje vertical.

💡 Explicación

El signo de

a

determina la curvatura. Si

a < 0

, la función tiende a

-\infty

cuando

x

crece o decrece mucho, lo que resulta en una parábola con las ramas hacia abajo.

Bloom: Apply

Un estudiante en Bilbao halla los puntos donde la parábola corta al eje horizontal.

¿En qué puntos corta al eje X la función

f(x) = x^2 - 4

?

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Respuesta correcta: D) En (2, 0) y (-2, 0).

A) Solo en (4, 0).Olvida que hay dos raíces y que debe extraer la raíz cuadrada.
B) En (0, 2) y (0, -2).Estos son puntos del eje Y, no del eje X.
C) No corta al eje X.El discriminante es positivo ( $16$ ), por lo que sí corta.
D) En (2, 0) y (-2, 0).Correcto. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

💡 Explicación

Los puntos de corte con el eje X (ceros o raíces) se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado

ax^2 + bx + c = 0

. Gráficamente, son las intersecciones de la parábola con la recta horizontal

y = 0

.

Bloom: Apply

Se analiza el punto de corte con el eje vertical para un lanzamiento.

¿Cuál es el punto de corte con el eje Y de la función

f(x) = 2x^2 - 3x + 7

?

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Respuesta correcta: A) (0, 7)

A) (0, 7)Correcto. Sustituyendo x = 0, el resultado es 7.
B) (0, 0)Solo pasaría por el origen si c = 0.
C) (7, 0)Confusión entre coordenadas x e y.
D) (0, 2)El coeficiente principal no define el corte con el eje Y.

💡 Explicación

El corte con el eje Y siempre ocurre en el punto

(0, c)

. Es el valor numérico de la función cuando la variable independiente es nula.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza la relación entre el discriminante y el número de cortes con el eje X.

Si el discriminante de la función cuadrática es cero (

\Delta = 0

), ¿qué podemos afirmar sobre su gráfica?

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Respuesta correcta: A) El vértice de la parábola está sobre el eje X (un único punto de corte).

A) El vértice de la parábola está sobre el eje X (un único punto de corte).Correcto. La parábola es tangente al eje.
B) Corta al eje X en dos puntos distintos.Esto requiere discriminante positivo.
C) No corta nunca al eje X.Esto requiere discriminante negativo.
D) La gráfica es una recta horizontal.Sigue siendo una parábola, pero con una sola raíz real.

💡 Explicación

El discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

determina cuántas veces toca la parábola al eje X. Si es cero, la ecuación tiene una solución doble, lo que geométricamente significa tangencia en el vértice.

Bloom: Apply

Un proyectil lanzado en un campo de prácticas en Murcia sigue la trayectoria $h(t) = -5t^2 + 20t$ .

¿En qué instante

t

alcanza el proyectil su altura máxima?

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Respuesta correcta: A) t = 2 s

A) t = 2 sCorrecto. $t_v = -20 / (2 \cdot -5) = -20 / -10 = 2$ .
B) t = 4 sEste es el tiempo total de vuelo hasta volver al suelo.
C) t = 1 sValor incorrecto.
D) t = 20 sConfusión con el coeficiente lineal.

💡 Explicación

Los problemas de proyectiles usan funciones cuadráticas donde el vértice representa el punto de máxima altura. Hallar el tiempo del vértice nos da el momento exacto del máximo.

Bloom: Apply

Un estudiante en San Sebastián halla el valor mínimo de una función de coste.

Halla el valor mínimo de la función

f(x) = x^2 - 4x + 10

.

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Respuesta correcta: A) y = 6

A) y = 6Correcto. El vértice está en $x=2$ . Evaluando: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$ .
B) x = 2Esta es la posición del mínimo, no el valor mínimo de la función.
C) y = 10Este es el corte con el eje Y, no el mínimo del vértice.
D) y = 4Error de cálculo al evaluar.

💡 Explicación

Para hallar el valor extremo de una función cuadrática, primero calculamos la coordenada

x

del vértice y luego evaluamos la función en ese punto para obtener la coordenada

y

(el valor máximo o mínimo real).

Bloom: Understand

Se compara la "anchura" de dos parábolas en función de sus coeficientes.

¿Cuál de estas parábolas es más "cerrada" o "estrecha" respecto a su eje de simetría?

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Respuesta correcta: B) $y = 5x^2$

A) $y = x^2$ Es la parábola estándar.
B) $y = 5x^2$ Correcto. Cuanto mayor es el valor absoluto de a, más rápido crece la función y más estrecha es la curva.
C) $y = 0,1x^2$ Es una parábola muy abierta o "ancha".
D) $y = 2x^2$ Es más estrecha que x², pero menos que 5x².

💡 Explicación

El valor absoluto del coeficiente

a

controla la apertura de la parábola. Valores grandes de

|a|

producen un crecimiento muy rápido (estrecha), mientras que valores cercanos a cero producen un crecimiento lento (ancha).

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado en Madrid analiza el signo de una función cuadrática sin raíces reales.

Si

f(x) = x^2 + 2x + 5

, ¿cuál es el signo de la función para cualquier valor real de

x

?

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Respuesta correcta: C) Siempre positivo.

A) Siempre negativo.El coeficiente principal es positivo.
B) Positivo para x > 0 y negativo para x < 0.Esto sería una función impar o lineal.
C) Siempre positivo.Correcto. El discriminante es negativo ( $4-20=-16$ ), por lo que no corta al eje X. Como abre hacia arriba, siempre está por encima del eje.
D) Depende del valor de x.Al no tener raíces, la función nunca cambia de signo.

💡 Explicación

Una parábola que no corta al eje X mantiene el mismo signo en todo su dominio. Dicho signo coincide con el signo del coeficiente principal

a

.

Bloom: Apply

Se busca la expresión de una parábola a partir de su gráfica en un examen.

¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0, 0) y pasa por el punto (2, 8)?

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Respuesta correcta: D) $y = 2x^2$

A) $y = 4x$ Es una recta, no una parábola.
B) $y = x^2 + 4$ No pasa por (0,0).
C) $y = 8x^2$ No cumple el punto (2,8): 8(4) = 32 ≠ 8.
D) $y = 2x^2$ Correcto. $y = ax^2$ . Sustituyendo (2,8): $8 = a(2^2) \Rightarrow 8 = 4a \Rightarrow a = 2$ .

💡 Explicación

Si el vértice está en el origen, la ecuación es

y = ax^2

. Usamos cualquier otro punto conocido de la curva para sustituir las coordenadas y despejar el valor del parámetro

a

.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Asturias explica el eje de simetría de una parábola.

¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la función

f(x) = 2(x-3)^2 + 4

?

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Respuesta correcta: B) x = 3

A) y = 4Esta es una recta horizontal.
B) x = 3Correcto. La forma canónica $y = a(x-h)^2 + k$ sitúa el vértice en (h, k), por lo que el eje es x = h.
C) x = -3Error de signo al identificar h.
D) x = 0Solo si el vértice estuviera sobre el eje Y.

💡 Explicación

La forma canónica o de vértice de la función cuadrática facilita la identificación directa de sus elementos geométricos. El valor que resta a la

x

dentro del cuadrado nos indica la posición horizontal del eje de simetría.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Málaga diseña un puente con un arco parabólico que corta al suelo en los puntos $x = 0$ y $x = 10$ .

Si la altura máxima es de 5 metros, ¿cuál es la ecuación del arco?

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Respuesta correcta: A) $y = -0,2x(x-10)$

A) $y = -0,2x(x-10)$ Correcto. Vértice en x=5. $5 = a(5)(5-10) \Rightarrow 5 = -25a \Rightarrow a = -0,2$ .
B) $y = x(x-10)$ La altura máxima sería negativa (hacia abajo).
C) $y = -5x(x-10)$ La altura máxima sería de 125 metros, no 5.
D) $y = x^2 - 10x + 5$ No tiene las raíces en 0 y 10.

💡 Explicación

Usamos la forma factorizada

y = a(x-r_1)(x-r_2)

con las raíces 0 y 10. Luego, usamos el punto del máximo (el vértice, que por simetría está en

x=5

) para hallar el valor de

a

.

Bloom: Analyze

Se analiza el crecimiento de una función cuadrática en un intervalo.

¿En qué intervalo es decreciente la función

f(x) = x^2 - 4x + 5

?

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Respuesta correcta: B) $(-\infty, 2)$

A) $(-\infty, \infty)$ Las parábolas cambian de monotonía en el vértice.
B) $(-\infty, 2)$ Correcto. El vértice está en $x=2$ y abre hacia arriba. Antes de llegar al vértice, la función baja.
C) $(2, \infty)$ En este intervalo la función es creciente.
D) $(-\infty, 4)$ Error al identificar la abscisa del vértice.

💡 Explicación

Una parábola que abre hacia arriba es decreciente desde

-\infty

hasta la abscisa del vértice, y creciente a partir de ahí. Para

a < 0

, el comportamiento es el opuesto.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve una intersección entre una recta y una parábola.

Halla los puntos de corte de

y = x^2

e

y = 2x + 3

.

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Respuesta correcta: B) (-1, 1) y (3, 9)

A) (1, 1) y (3, 9)(1, 1) no está en la recta.
B) (-1, 1) y (3, 9)Correcto. $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-1, x=3$ .
C) (0, 0) y (2, 4)No satisfacen la ecuación de la recta.
D) No se cortan.El discriminante de la ecuación igualada es positivo ( $4+12=16$ ).

💡 Explicación

Igualamos ambas expresiones para formar una ecuación de segundo grado. Las soluciones nos dan las coordenadas

x

de los puntos comunes. Sustituimos en cualquiera de las funciones para hallar las

y

.

Bloom: Analyze

Un programador en una startup en Madrid calcula el área bajo una parábola simple para un sensor de luz.

¿Cuál es la distancia mínima entre el origen (0, 0) y la parábola

y = x^2 + 1

?

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Respuesta correcta: D) 1 unidad

A) 0 unidadesLa parábola no pasa por el origen.
B) $\sqrt{2}$ unidadesDistancia mayor que la del vértice.
C) 2 unidadesValor incorrecto.
D) 1 unidadCorrecto. El punto más cercano es el vértice (0, 1), cuya distancia al origen es exactamente 1.

💡 Explicación

En parábolas verticales cuyo eje de simetría es el eje Y, el punto más cercano al origen suele ser el vértice si este se encuentra sobre el eje Y. La distancia es simplemente el valor absoluto de la ordenada en el origen.

Bloom: Evaluate

Se plantea una familia de parábolas que dependen de un parámetro $k$ .

¿Para qué valores de

k

la parábola

y = x^2 - kx + 4

es siempre mayor que cero?

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Respuesta correcta: A) $-4 < k < 4$

A) $-4 < k < 4$ Correcto. Requiere discriminante negativo: $k^2 - 16 < 0 \Rightarrow k^2 < 16 \Rightarrow |k| < 4$ .
B) $k > 4$ Tendría raíces reales, por lo que tocaría o cruzaría el eje X.
C) $k = 0$ solamente.Hay un rango completo de valores que cumplen la condición.
D) Ningún valor de k.Sí existen valores que cumplen la condición.

💡 Explicación

Para que una parábola sea siempre positiva, no debe tener raíces reales (

\Delta < 0

) y su coeficiente

a

debe ser positivo. Resolvemos la inecuación del discriminante para el parámetro.

Bloom: Analyze

Un estudiante de ingeniería analiza la suma de las áreas de cuadrados cuyos lados dependen de una variable $x$ .

Si la suma de las raíces de una función cuadrática es 6 y su producto es 8, ¿cuál es la ecuación de la parábola si

a = 1

?

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Respuesta correcta: A) $y = x^2 - 6x + 8$

A) $y = x^2 - 6x + 8$ Correcto. Por relaciones de Vieta: $x^2 - (suma)x + producto = 0$ .
B) $y = x^2 + 6x + 8$ La suma sería -6.
C) $y = x^2 - 8x + 6$ Suma y producto intercambiados.
D) $y = x^2 + 6x - 8$ Producto incorrecto.

💡 Explicación

Conociendo la suma (

S

) y el producto (

P

) de las raíces, cualquier función cuadrática con esas raíces se puede escribir como

y = a(x^2 - Sx + P)

. Es una aplicación directa de la descomposición de polinomios.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre el desplazamiento de parábolas en el plano.

Si desplazamos la parábola

y = x^2

tres unidades a la derecha y dos hacia arriba, ¿cuál es su nueva ecuación?

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Respuesta correcta: C) $y = (x-3)^2 + 2$

A) $y = (x-3)^2 - 2$ El -2 desplaza hacia abajo.
B) $y = (x+3)^2 + 2$ El signo +3 desplaza a la izquierda.
C) $y = (x-3)^2 + 2$ Correcto. Desplazamiento horizontal h=+3 (resta en la x) y vertical k=+2 (suma fuera).
D) $y = x^2 - 3x + 2$ No corresponde a los desplazamientos indicados.

💡 Explicación

Las traslaciones de funciones se reflejan en su expresión analítica. Un desplazamiento de

h

unidades en el eje X se escribe como

(x - h)

y un desplazamiento de

k

unidades en el eje Y como

+ k

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?