Funcion Exponencial Logaritmica — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante en un instituto de Madrid estudia el comportamiento de las funciones con crecimiento rápido.

¿Cuál es la forma general de una función exponencial básica?

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Respuesta correcta: C) $f(x) = a^x$

A) $f(x) = x^a$ Esta es una función potencia, no exponencial (la x está en la base).
B) $f(x) = \log_a x$ Esta es la función logarítmica, inversa de la exponencial.
C) $f(x) = a^x$ Correcto. La variable independiente se encuentra en el exponente.
D) $f(x) = e \cdot x$ Es una función lineal.

💡 Explicación

Una función exponencial se caracteriza por tener una base constante positiva y distinta de 1 (

a > 0, a \neq 1

) y la variable independiente en el exponente. Representa procesos de crecimiento o decrecimiento muy acelerados.

Bloom: Understand

Se analiza el punto de corte con el eje vertical en una clase de funciones en Barcelona.

¿En qué punto cortan al eje Y todas las funciones exponenciales de la forma

f(x) = a^x

?

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Respuesta correcta: B) (0, 1)

A) (1, 0)Este es el punto de corte de las funciones logarítmicas con el eje X.
B) (0, 1)Correcto. Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es igual a 1.
C) (0, 0)Las funciones exponenciales nunca pasan por el origen (0,0).
D) (0, a)Esto solo ocurriría para x=1 en la ordenada, pero se pregunta por el corte (x=0).

💡 Explicación

Independientemente de la base

a

, si evaluamos

f(0) = a^0

, el resultado es siempre

1

. Gráficamente, esto significa que todas las curvas exponenciales básicas cruzan el eje vertical en la unidad.

Bloom: Apply

Un estudiante en Valencia calcula el valor de una función exponencial neperiana.

Dada la función

f(x) = e^x

, ¿cuál es el valor aproximado de

f(1)

?

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Respuesta correcta: A) 2,718

A) 2,718Correcto. El número e es la base de los logaritmos naturales y vale aproximadamente 2,71828...
B) 1e elevado a 0 es 1.
C) 10Esta es la base de los logaritmos decimales.
D) 3,141Este es el valor del número pi.

💡 Explicación

La función exponencial con base

e

es fundamental en cálculo. Evaluar en 1 nos devuelve el valor de la propia constante irracional

e

, que surge de los límites del crecimiento compuesto continuo.

Bloom: Understand

Un examen en Sevilla pregunta por la relación entre exponenciales y logaritmos.

¿Qué relación geométrica guardan las gráficas de

y = 2^x

e

y = \log_2 x

respecto a la recta

y = x

?

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Respuesta correcta: B) Son simétricas respecto a dicha recta.

A) Son paralelas.Tienen formas y comportamientos opuestos.
B) Son simétricas respecto a dicha recta.Correcto. Al ser funciones inversas, su gráfica es un reflejo especular sobre la bisectriz del primer cuadrante.
C) Son perpendiculares.No es una propiedad de las funciones inversas.
D) Son idénticas.Tienen dominios y recorridos intercambiados.

💡 Explicación

Las funciones logarítmica y exponencial de la misma base son funciones inversas. Una propiedad clave de las inversas es que sus gráficas son simétricas respecto a la recta

y = x

.

Bloom: Apply

Un biólogo en Bilbao observa que una población de bacterias se duplica cada hora: $P(t) = P_0 \cdot 2^t$ .

Si inicialmente hay 100 bacterias, ¿cuántas habrá después de 5 horas?

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Respuesta correcta: A) 3.200

A) 3.200Correcto. $P(5) = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3.200$ .
B) 500Esto sería un crecimiento lineal (100 por hora).
C) 1.000Error de cálculo.
D) 6.400Este sería el valor a las 6 horas.

💡 Explicación

El crecimiento exponencial se caracteriza por multiplicar la población en cada intervalo de tiempo. En 5 horas, la población inicial se ha multiplicado por

2^5

(32 veces).

Bloom: Apply

Se analiza el dominio de una función logarítmica en un ejercicio de refuerzo en Zaragoza.

¿Cuál es el dominio de la función

f(x) = \log(x - 3)

?

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Respuesta correcta: B) $x > 3$

A) Todos los reales ( $\mathbb{R}$ ).El logaritmo no admite argumentos negativos ni cero.
B) $x > 3$ Correcto. El argumento debe ser estrictamente positivo: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ .
C) $x \geq 3$ El valor x = 3 anularía el argumento, y el logaritmo de 0 no existe.
D) $x < 3$ El argumento sería negativo.

💡 Explicación

El dominio de una función logarítmica está restringido a los valores que hacen que su argumento sea positivo. Gráficamente, esto se traduce en una asíntota vertical en el valor que anula el argumento.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza la monotonía de una función exponencial decreciente.

¿Bajo qué condición la función exponencial

f(x) = a^x

es estrictamente decreciente?

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Respuesta correcta: D) Cuando 0 < a < 1.

A) Cuando a > 1.En este caso la función es creciente.
B) Cuando a < 0.La base no puede ser negativa en las funciones exponenciales reales.
C) Siempre es decreciente.Depende del valor de la base.
D) Cuando 0 < a < 1.Correcto. Al elevar una fracción propia a exponentes mayores, el resultado disminuye.

💡 Explicación

Si la base está entre 0 y 1 (como 0,5), multiplicar sucesivamente por la base reduce el valor total, generando una curva que se acerca al eje X pero nunca lo toca.

Bloom: Apply

Un geólogo en Murcia usa la escala Richter: $M = \log(A/A_0)$ . Si una amplitud $A$ es 10.000 veces $A_0$ .

¿Cuál es la magnitud

M

del seísmo?

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Respuesta correcta: D) 4

A) 10.000Este es el valor de la amplitud relativa, no de la magnitud logarítmica.
B) 2log(100) = 2.
C) 5log(100.000) = 5.
D) 4Correcto. $M = \log(10.000) = \log(10^4) = 4$ .

💡 Explicación

Las escalas logarítmicas como la Richter o el pH comprimen grandes rangos de valores en números pequeños y manejables. Un aumento de 1 unidad en la magnitud Richter equivale a multiplicar por 10 la intensidad.

Bloom: Apply

Un estudiante en San Sebastián resuelve una ecuación exponencial mediante logaritmos.

Halla el valor de x en la ecuación

e^x = 5

.

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Respuesta correcta: B) $x = \ln 5$

A) $x = \log 5$ Se debe usar el logaritmo neperiano (ln) para base e.
B) $x = \ln 5$ Correcto. Aplicando el logaritmo natural en ambos miembros: $\ln(e^x) = \ln 5 \Rightarrow x = \ln 5$ .
C) $x = 5/e$ Error al tratar la función como una multiplicación.
D) $x = e^5$ Se ha aplicado la función en sentido contrario.

💡 Explicación

Para despejar una incógnita del exponente, aplicamos logaritmos en ambos miembros. Si la base es

e

, el logaritmo natural (

\ln

) es la herramienta directa para "bajar" el exponente.

Bloom: Understand

Se estudia la presencia de asíntotas en las funciones trascendentes.

¿Cuál es la asíntota horizontal de la función

f(x) = 3^x

?

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Respuesta correcta: B) El eje X (y = 0).

A) El eje Y (x = 0).Esta es una asíntota vertical típica de logaritmos, no horizontal.
B) El eje X (y = 0).Correcto. Cuando x tiende a menos infinito, la función se acerca a cero pero nunca lo alcanza.
C) La recta y = 3.No existe tal asíntota.
D) No tiene asíntotas.Sí las tiene por su comportamiento en el infinito negativo.

💡 Explicación

Las funciones exponenciales

a^x

tienen al eje de abscisas (

y=0

) como asíntota horizontal hacia

-\infty

(si

a>1

) o hacia

+\infty

(si

0<a<1

).

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado en Madrid analiza el crecimiento comparado de funciones.

A largo plazo (

x \to \infty

), ¿cuál de las siguientes funciones crece más rápidamente?

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Respuesta correcta: B) $f(x) = 1,1^x$

A) $f(x) = x^2$ Es una función cuadrática, crece rápido pero no tanto como una exponencial.
B) $f(x) = 1,1^x$ Correcto. Cualquier exponencial con base > 1 acabará superando a cualquier polinomio.
C) $f(x) = 100x + 500$ Es lineal, su tasa de crecimiento es constante.
D) $f(x) = \log x$ Su crecimiento es extremadamente lento (sublineal).

💡 Explicación

El crecimiento exponencial es superior al crecimiento polinómico. Aunque al principio

x^2

pueda ser mayor que

1,1^x

, existe un valor crítico a partir del cual la exponencial domina siempre.

Bloom: Apply

Se busca la expresión de una función exponencial que modela la pérdida de valor de un coche.

Un coche de 20.000 € pierde el 15% de su valor cada año. ¿Qué función modela su precio

V

tras

t

años?

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Respuesta correcta: B) $V(t) = 20.000 \cdot 0,85^t$

A) $V(t) = 20.000 \cdot 0,15^t$ Esto diría que el valor cae al 15% el primer año, no que pierde un 15%.
B) $V(t) = 20.000 \cdot 0,85^t$ Correcto. Perder el 15% equivale a mantener el 85% (1 - 0,15 = 0,85).
C) $V(t) = 20.000 - 0,15t$ Esto es un modelo lineal, no exponencial.
D) $V(t) = 20.000 \cdot 1,15^t$ Esto representaría una ganancia de valor del 15% anual.

💡 Explicación

En modelos de desintegración o depreciación, el factor de la base es

(1 - r)

, donde

r

es la tasa de pérdida. Es una función exponencial decreciente.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Asturias explica el efecto de una traslación vertical en un logaritmo.

¿En qué punto corta al eje X la función

f(x) = \ln(x) + 1

?

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Respuesta correcta: B) (1/e, 0)

A) (e, 0) $\ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2$ .
B) (1/e, 0)Correcto. $\ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$ .
C) (1, 0)Este es el corte de la función $\ln(x)$ simple.
D) (0, 1)El logaritmo no está definido en 0.

💡 Explicación

Al sumarle 1 a la función logarítmica, toda la gráfica sube una unidad. El punto donde la función vale 0 cambia de

x=1

a aquel valor de

x

tal que su logaritmo sea

-1

.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Málaga usa la función $f(x) = 2^{x-4}$ para diseñar un patrón de sombreado.

¿Para qué valor de x se alcanza el valor de función

f(x) = 8

?

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Respuesta correcta: C) x = 7

A) x = 4 $2^{4-4} = 2^0 = 1$ .
B) x = 12Valor demasiado alto.
C) x = 7Correcto. $2^{x-4} = 2^3 \Rightarrow x-4=3 \Rightarrow x=7$ .
D) x = 3Error de cálculo.

💡 Explicación

Igualamos las bases: 8 se puede escribir como

2^3

. Al tener la misma base en ambos miembros, igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación lineal resultante.

Bloom: Analyze

Se analiza el rango de la función exponencial.

¿Cuál es el recorrido (imagen) de la función

f(x) = 5^x

?

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Respuesta correcta: D) Los reales positivos $(0, \infty)$ .

A) Todos los reales ( $\mathbb{R}$ ).No puede tomar valores negativos ni cero.
B) Los reales no negativos $[0, \infty)$ .El cero no se alcanza nunca (es una asíntota).
C) Solo números enteros.Puede tomar cualquier valor real positivo (ej. 5^0,5 = √5).
D) Los reales positivos $(0, \infty)$ .Correcto. Una potencia de base positiva siempre es mayor que cero.

💡 Explicación

La función exponencial

a^x

nunca arroja un resultado negativo ni nulo. Por ello, su gráfica se sitúa íntegramente por encima del eje de abscisas.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve una ecuación logarítmica con una base distinta a 10 o e.

Halla x si

\log_2(x+1) = 3

.

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Respuesta correcta: A) x = 7

A) x = 7Correcto. $x+1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 7$ .
B) x = 5 $2^3 = 8$ , no 6.
C) x = 8Error al no restar el 1 del argumento.
D) x = 9Error de cálculo.

💡 Explicación

Aplicamos la definición de logaritmo: el argumento debe ser igual a la base elevada al resultado. Luego resolvemos la ecuación de primer grado que queda para hallar

x

.

Bloom: Analyze

Un programador en Madrid implementa una función de atenuación de sonido: $I(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}$ .

¿A qué distancia

d

la intensidad se reduce a la mitad? (Usa

\ln 2 \approx 0,7

).

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) d = 3,5

A) d = 0,5Error conceptual.
B) d = 2Valor incorrecto.
C) d = 3,5Correcto. $1/2 = e^{-0,2d} \Rightarrow \ln(0,5) = -0,2d \Rightarrow -0,7 = -0,2d \Rightarrow d = 3,5$ .
D) d = 7Error en el factor decimal.

💡 Explicación

Este es el concepto de "semivida" o "distancia de semiatenuación". Resolvemos la ecuación exponencial igualando el factor multiplicativo a 0,5 y usando logaritmos naturales para despejar la distancia.

Bloom: Evaluate

Se plantea la resolución de una ecuación exponencial que requiere un cambio de variable.

Resuelve:

2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) x = 0 y x = 2

A) x = 1 y x = 4Estas son las soluciones para z = 2^x, falta hallar x.
B) Solo x = 2Falta la solución x = 0.
C) x = 0 y x = 2Correcto. Si $z=2^x$ , $z^2-5z+4=0 \Rightarrow z=1, z=4$ . Entonces $2^x=1 \Rightarrow x=0$ y $2^x=4 \Rightarrow x=2$ .
D) No tiene solución real.Tiene dos soluciones exactas.

💡 Explicación

Usamos el cambio de variable

z = 2^x

para convertir la expresión exponencial en una ecuación de segundo grado. Tras hallar

z

, deshacemos el cambio usando logaritmos o igualación de bases para encontrar los valores de

x

.

Bloom: Analyze

Un estudiante de ingeniería analiza la inversa de una función exponencial desplazada.

¿Cuál es la función inversa de

f(x) = e^{x+2}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $f^{-1}(x) = \ln(x) - 2$

A) $f^{-1}(x) = \ln(x) + 2$ El desplazamiento horizontal se convierte en vertical pero con signo opuesto.
B) $f^{-1}(x) = \ln(x-2)$ Error en el despeje de la variable.
C) $f^{-1}(x) = \ln(x) - 2$ Correcto. $y = e^{x+2} \Rightarrow \ln y = x+2 \Rightarrow x = \ln y - 2$ .
D) $f^{-1}(x) = e^{-x-2}$ Esto no es la función logarítmica.

💡 Explicación

Para hallar la inversa, intercambiamos los roles de

x

e

y

y despejamos la nueva

y

. Aplicamos logaritmos naturales para liberar la variable del exponente y ajustamos los términos constantes.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre el límite de la función logarítmica.

¿Cuál es el valor del límite

\lim_{x \to 0^+} \ln x

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $-\infty$

A) 0ln(1) = 0, pero cerca de 0 la función cae.
B) $+\infty$ Esto ocurre cuando x tiende a infinito.
C) No existe el límite lateral.Sí existe y es divergente al infinito negativo.
D) $-\infty$ Correcto. A medida que x se acerca a 0 por la derecha, el logaritmo se vuelve arbitrariamente negativo (asíntota vertical).

💡 Explicación

La función logarítmica tiene una asíntota vertical en

x=0

. Como la base

e

es mayor que 1, valores muy pequeños de

x

(fracciones muy pequeñas) requieren exponentes negativos muy grandes, por lo que la función tiende a menos infinito.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?