Sucesiones Progresiones — Matemáticas Grado 11, España

Bloom: Remember

Un estudiante de bachillerato en Madrid analiza una lista de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior.

¿Cómo se denomina técnicamente a una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante?

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Respuesta correcta: B) Progresión aritmética

A) Progresión geométricaEn la geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante.
B) Progresión aritméticaCorrecto. En una progresión aritmética, cada término es igual al anterior más una constante llamada diferencia.
C) Sucesión recurrente de segundo ordenEstas dependen de los dos términos anteriores, no necesariamente de una diferencia constante.
D) Serie armónicaLa serie armónica es la suma de los recíprocos de los números naturales, no tiene diferencia constante.

💡 Explicación

Una progresión aritmética se define por la relación

a_n = a_{n-1} + d

, donde

d

es la diferencia. Es un concepto fundamental en el estudio de sucesiones en 1º de Bachillerato.

Bloom: Understand

En una academia de Barcelona, se explica la fórmula del término general de una sucesión geométrica.

Si una sucesión geométrica tiene como primer término

a_1

y razón

r

, ¿cuál es la expresión correcta para el término general

a_n

?

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Respuesta correcta: C) $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

A) $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ Esta es la fórmula de una progresión aritmética, no geométrica.
B) $a_n = a_1 \cdot r^n$ Esta fórmula daría el término $a_{n+1}$ si empezamos en $a_1$ .
C) $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ Correcto. Cada término se obtiene multiplicando el primero por la razón elevada a $n-1$ .
D) $a_n = (a_1 \cdot r)^{n-1}$ El exponente solo debe afectar a la razón $r$ .

💡 Explicación

En las progresiones geométricas, el crecimiento es exponencial. El término

n

-ésimo se alcanza tras

n-1

saltos multiplicativos desde el primer término.

Bloom: Remember

Un examen de Matemáticas I en Valencia incluye una pregunta sobre la suma de términos.

¿Cuál es la condición necesaria para que una progresión geométrica de términos positivos sea decreciente?

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Respuesta correcta: A) Que la razón esté comprendida entre 0 y 1.

A) Que la razón esté comprendida entre 0 y 1.Correcto. Multiplicar repetidamente por un valor entre 0 y 1 reduce el valor del término.
B) Que la razón sea mayor que 1.Si la razón es mayor que 1, la progresión es creciente.
C) Que la razón sea negativa.Si la razón es negativa, los términos alternan de signo, no es estrictamente decreciente.
D) Que el primer término sea negativo.El enunciado especifica términos positivos.

💡 Explicación

Para sucesiones de términos positivos, el comportamiento depende de la razón

r

. Si

0 < r < 1

, el valor absoluto de los términos disminuye hacia cero.

Bloom: Understand

Un biólogo en Sevilla observa una población de bacterias que se duplica cada hora.

Si inicialmente hay 100 bacterias, ¿qué tipo de sucesión representa la cantidad de bacterias al cabo de

n

horas?

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Respuesta correcta: A) Progresión geométrica con $r = 2$ .

A) Progresión geométrica con $r = 2$ .Correcto. "Duplicar" implica multiplicar por 2 en cada paso.
B) Progresión aritmética con $d = 2$ .La duplicación es un proceso multiplicativo, no aditivo.
C) Sucesión constante.La población cambia, por lo que no es constante.
D) Progresión aritmética con $d = 100$ .Esto significaría que nacen 100 bacterias fijas cada hora, independientemente de cuántas haya.

💡 Explicación

Los procesos de crecimiento donde el incremento es proporcional al valor actual (como duplicarse) se modelan mediante progresiones geométricas.

Bloom: Apply

Un ahorro mensual en una cuenta de un banco en Bilbao empieza con 50 € y cada mes se añaden 5 € más que el anterior (50, 55, 60...).

Calcula cuánto dinero se ahorrará exactamente en el mes número 12.

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Respuesta correcta: B) 105 €

A) 110 €Cálculo incorrecto del término general.
B) 105 €Correcto. $a_{12} = 50 + (12-1) \cdot 5 = 50 + 55 = 105$ €.
C) 115 €Se usó $n+1$ en lugar de $n-1$ en la fórmula.
D) 60 €Este es solo el ahorro del tercer mes.

💡 Explicación

Usamos la fórmula del término general de la progresión aritmética:

a_n = a_1 + (n-1)d

. Aquí

a_1=50

,

d=5

y

n=12

.

Bloom: Apply

Una empresa de logística en Zaragoza organiza paquetes en niveles. El primer nivel tiene 20 paquetes y cada nivel inferior tiene 2 paquetes menos.

¿En qué nivel habrá exactamente 2 paquetes?

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Respuesta correcta: C) Nivel 10

A) Nivel 9Cálculo erróneo de la posición.
B) Nivel 11Error al despejar $n$ .
C) Nivel 10Correcto. $2 = 20 + (n-1)(-2) \Rightarrow -18 = -2(n-1) \Rightarrow 9 = n-1 \Rightarrow n = 10$ .
D) Nivel 18Resultado incoherente con la tasa de descenso.

💡 Explicación

Planteamos la ecuación

a_n = a_1 + (n-1)d

con

a_1=20

,

d=-2

y

a_n=2

, y despejamos el valor de

n

.

Bloom: Apply

Un atleta en Valencia entrena corriendo cada día un 10% más de distancia que el día anterior. El primer día corre 10 km.

¿Qué distancia correrá el tercer día de entrenamiento?

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Respuesta correcta: A) 12,1 km

A) 12,1 kmCorrecto. Día 1: 10. Día 2: $10 \cdot 1,1 = 11$ . Día 3: $11 \cdot 1,1 = 12,1$ .
B) 12 kmEsto sería una progresión aritmética sumando 1 km cada día.
C) 13,31 kmEste es el resultado para el cuarto día.
D) 11 kmEste es el resultado para el segundo día.

💡 Explicación

Se trata de una progresión geométrica con

r = 1,1

(aumento del 10%). El tercer término es

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 10 \cdot (1,1)^2 = 12,1

.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza la sucesión $a_n = \frac{n+1}{n}$ .

¿Cuál es el límite de esta sucesión cuando

n

tiende a infinito?

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Respuesta correcta: B) 1

A) 0El numerador y denominador crecen a la misma velocidad.
B) 1Correcto. Dividiendo numerador y denominador por $n$ , la expresión queda $1 + 1/n$ , que tiende a 1.
C) InfinitoLa sucesión es decreciente y está acotada.
D) 2Solo el primer término es 2.

💡 Explicación

El límite de un cociente de polinomios del mismo grado es el cociente de sus coeficientes principales. En este caso

1/1 = 1

.

Bloom: Apply

Un coleccionista en Granada compra una moneda que se revaloriza un 5% anualmente. El precio inicial es de 200 €.

¿Cuál será el valor de la moneda tras 2 años?

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Respuesta correcta: C) 220,50 €

A) 220 €Esto ignora el interés compuesto sobre el primer aumento.
B) 210 €Este es el valor tras el primer año únicamente.
C) 220,50 €Correcto. $200 \cdot (1,05)^2 = 200 \cdot 1,1025 = 220,5$ .
D) 231,52 €Este es el valor tras 3 años.

💡 Explicación

La revalorización porcentual constante se calcula mediante una progresión geométrica. El valor final es

a_1 \cdot r^n

(siendo

n

el número de periodos).

Bloom: Apply

Se quiere calcular la suma de los 10 primeros números pares naturales (2, 4, 6...).

Utilizando la fórmula de la suma de una progresión aritmética, ¿cuál es el resultado?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 110

A) 100Esta es la suma de los 10 primeros impares.
B) 55Esta es la suma de los números del 1 al 10.
C) 110Correcto. $S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110$ .
D) 210Cálculo erróneo de los términos.

💡 Explicación

La suma de los

n

primeros términos de una progresión aritmética es

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

. Aquí

a_1=2

,

a_{10}=20

y

n=10

.

Bloom: Analyze

Un matemático en Salamanca estudia sucesiones definidas por recurrencia, como la de Fibonacci ( $1, 1, 2, 3, 5, 8$ ...).

¿Cuál es el valor del octavo término (

a_8

) de la sucesión de Fibonacci si los dos primeros son

a_1=1

y

a_2=1

?

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Respuesta correcta: D) 21

A) 13Este es el séptimo término.
B) 34Este es el noveno término.
C) 15Fibonacci no es una progresión aritmética.
D) 21Correcto. La serie es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

💡 Explicación

En la sucesión de Fibonacci, cada término es la suma de los dos anteriores (

a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

). Es un ejemplo clásico de sucesión recurrente.

Bloom: Analyze

Un físico analiza la oscilación de un péndulo donde cada arco recorrido es los $3/4$ del anterior. El primer arco mide 16 cm.

¿Cuál es la distancia total recorrida por el péndulo hasta que se detiene por completo?

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Respuesta correcta: B) 64 cm

A) 48 cmError en la aplicación de la fórmula de suma infinita.
B) 64 cmCorrecto. Es una progresión geométrica con $|r| < 1$ . Suma = $a_1 / (1 - r) = 16 / (1 - 0,75) = 16 / 0,25 = 64$ .
C) 16 cmEsto es solo el primer movimiento.
D) InfinitoComo la razón es menor que 1, la suma converge a un valor finito.

💡 Explicación

La suma de los términos de una progresión geométrica infinita con

-1 < r < 1

viene dada por

S = \frac{a_1}{1-r}

. Este modelo es muy común en fenómenos de amortiguación física.

Bloom: Analyze

En un taller de ingeniería en Gijón, se interpolan 3 medios aritméticos entre los números 4 y 20.

¿Cuál es la diferencia

d

de la progresión aritmética resultante?

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Respuesta correcta: D) 4

A) 5,33Error al contar el número total de términos (debe haber 5 en total).
B) 5Se dividió 20-4 entre 3 en lugar de 4.
C) 3Cálculo erróneo de la diferencia.
D) 4Correcto. Con 3 medios, hay $n=5$ términos. $20 = 4 + (5-1)d \Rightarrow 16 = 4d \Rightarrow d = 4$ .

💡 Explicación

Interpolar

k

medios entre

a

y

b

significa crear una progresión de

k+2

términos. La diferencia se halla con

d = \frac{b-a}{k+1}

.

Bloom: Apply

Un capital de 1000 € se invierte a un interés compuesto anual del 4%.

¿Qué expresión representa el capital acumulado tras

t

años?

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Respuesta correcta: A) $1000 \cdot (1,04)^t$

A) $1000 \cdot (1,04)^t$ Correcto. Es una progresión geométrica donde la razón es $1 + \text{rédito}$ .
B) $1000 \cdot 0,04^t$ La base debe ser $1 + i$ , no solo el interés.
C) $1000 + 40t$ Esto representaría interés simple, no compuesto.
D) $1000 \cdot (0,96)^t$ Esto representaría una pérdida de valor del 4% anual.

💡 Explicación

El interés compuesto es la aplicación práctica más directa de las progresiones geométricas en finanzas, donde los intereses se capitalizan en cada periodo.

Bloom: Analyze

Se estudia el comportamiento de la sucesión $a_n = (-1)^n \cdot n$ .

¿Cómo se clasifica esta sucesión atendiendo a su convergencia y monotonía?

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Respuesta correcta: D) Oscilante y divergente.

A) Convergente y creciente.Los términos alternan y crecen en valor absoluto, no converge.
B) Divergente y monótona.Al alternar signos, no es monótona.
C) Acotada y convergente a 0.El valor absoluto tiende a infinito, no está acotada.
D) Oscilante y divergente.Correcto. Al cambiar de signo y aumentar en valor absoluto, no tiende a un único valor ni a un único infinito.

💡 Explicación

Una sucesión es oscilante si no es convergente ni tiende a

+\infty

o

-\infty

. La presencia del factor

(-1)^n

suele generar comportamientos alternantes.

Bloom: Evaluate

Un estudiante plantea una duda sobre la suma de los infinitos términos de una progresión aritmética con $d > 0$ .

¿Cuál es el valor de la suma de los infinitos términos de una progresión aritmética creciente?

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Respuesta correcta: B) $+\infty$

A) Un número real positivo.Al sumar términos cada vez mayores, la suma no se estabiliza.
B) $+\infty$ Correcto. En una progresión aritmética creciente, la suma de sus términos diverge a infinito positivo.
C) 0Solo ocurriría si todos los términos fueran cero.
D) No se puede determinar.Matemáticamente está definido que diverge si la suma no está acotada superiormente.

💡 Explicación

Para que una serie infinita converja, es necesario (pero no suficiente) que el término general tienda a 0. En una progresión aritmética con

d \neq 0

, esto nunca ocurre.

Bloom: Analyze

El tercer término de una progresión geométrica es 12 y el sexto es 96.

Halla el primer término (

a_1

) de dicha progresión.

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Respuesta correcta: C) 3

A) 2Error al despejar la razón o el primer término.
B) 4Error en el cálculo de la razón.
C) 3Correcto. $a_6 = a_3 \cdot r^3 \Rightarrow 96 = 12 \cdot r^3 \Rightarrow 8 = r^3 \Rightarrow r = 2$ . Entonces $12 = a_1 \cdot 2^2 \Rightarrow a_1 = 3$ .
D) 6Valor incoherente con los datos.

💡 Explicación

Utilizamos la relación entre términos de una progresión geométrica:

a_n = a_m \cdot r^{n-m}

. Primero hallamos la razón y luego retrocedemos hasta

a_1

.

Bloom: Evaluate

Un investigador analiza el límite de la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ .

¿A qué constante matemática converge esta sucesión cuando

n

tiende a infinito?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) El número $e$

A) 1Aunque 1/n tiende a 0, el exponente crece a infinito; es una indeterminación $1^\infty$ .
B) $\pi$ No tiene relación directa con esta estructura de sucesión.
C) El número $e$ Correcto. Esta es una de las definiciones fundamentales del número de Euler ( $e \approx 2,71828$ ).
D) InfinitoLa sucesión está acotada superiormente por 3.

💡 Explicación

La sucesión que define el número

e

es fundamental en el estudio del cálculo y el análisis matemático en el bachillerato científico-tecnológico en España.

Bloom: Analyze

Una pelota de tenis cae desde 10 metros de altura. En cada rebote, alcanza el 60% de la altura anterior.

Calcula la altura alcanzada en el cuarto rebote (redondeando a dos decimales).

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 1,30 m

A) 2,16 mEste es el valor del tercer rebote.
B) 1,30 mCorrecto. $10 \cdot (0,6)^4 = 10 \cdot 0,1296 = 1,296 \approx 1,30$ .
C) 0,78 mEste es el valor del quinto rebote.
D) 4,00 mError al aplicar la razón.

💡 Explicación

Modelamos el problema como una progresión geométrica donde

a_0 = 10

(altura inicial) y

r = 0,6

. El rebote

n

corresponde al término

a_n

de la sucesión.

Bloom: Evaluate

Un estudiante intenta sumar los términos de una progresión geométrica con $r = -1$ .

¿Qué ocurre con la suma de los

n

primeros términos de la sucesión

1, -1, 1, -1

... a medida que

n

crece?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) La suma oscila entre 0 y 1.

A) La suma tiende a 0.Solo es 0 si $n$ es par.
B) La suma tiende a 1.Solo es 1 si $n$ es impar.
C) La suma diverge a infinito.Los términos se compensan, impidiendo que la suma crezca sin límite.
D) La suma oscila entre 0 y 1.Correcto. $S_1=1, S_2=0, S_3=1, S_4=0$ ... La serie no tiene un límite único.

💡 Explicación

Este es un ejemplo de serie divergente por oscilación. Muestra que para que una serie geométrica tenga suma infinita, es indispensable que

|r| < 1

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?