Limites Continuidad

Respuesta correcta: C) Que existan los límites laterales y sean iguales entre sí.

• A) Que la función esté definida en el punto $a$, es decir, que exista $f(a)$.La existencia de f(a) es necesaria para la continuidad, pero no para la existencia del límite.
• B) Que el límite sea siempre un número entero.El límite puede ser cualquier número real o incluso infinito.
• C) Que existan los límites laterales y sean iguales entre sí.Correcto. Para que exista el límite global, el límite por la izquierda y por la derecha deben coincidir.
• D) Que la función sea creciente en un entorno de $a$.La monotonía no es un requisito para la existencia de un límite.

Respuesta correcta: A) Discontinuidad inevitable de salto finito.

• A) Discontinuidad inevitable de salto finito.Correcto. Al haber una diferencia finita entre los límites laterales, se produce un "salto".
• B) Discontinuidad evitable.En la evitable, los límites laterales son iguales.
• C) Discontinuidad inevitable de salto infinito.En este caso, al menos uno de los límites laterales debería ser infinito.
• D) Discontinuidad esencial.Término más general que suele referirse a la inexistencia de límites laterales.

Respuesta correcta: D) $+\infty$

• A) 0Al acercarse a 0 con valores muy pequeños positivos, el cociente se hace muy grande.
• B) $-\infty$Esto ocurriría si nos acercáramos por la izquierda (valores negativos).
• C) 1El valor 1 solo se alcanza cuando x = 1.
• D) $+\infty$Correcto. Al dividir 1 por números positivos cada vez más cercanos a 0 (como 0,001), el resultado crece sin límite.

Respuesta correcta: B) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

• A) $f(a) = 0$La función puede ser continua en cualquier valor real.
• B) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$Correcto. La definición de continuidad exige que el límite coincida con el valor de la función en el punto.
• C) $f'(a) = 0$Esto se refiere a la derivada, no a la continuidad.
• D) $\lim_{x \to a} f(x) = 0$El límite debe ser igual a f(a), no necesariamente cero.

Respuesta correcta: A) 4

• A) 4Correcto. Factorizando el numerador: $(x-2)(x+2)/(x-2) = x+2$. Al sustituir x=2, obtenemos 4.
• B) 0Error al simplificar; la expresión no se anula.
• C) 2Error de cálculo tras la simplificación.
• D) No existe.Es una indeterminación evitable, por lo que el límite sí existe.

Respuesta correcta: B) 3

• A) 5Este es el valor cuando t=0.
• B) 3Correcto. El límite en el infinito de un cociente de polinomios del mismo grado es el cociente de los coeficientes principales: $3/1 = 3$.
• C) 0La eficiencia se estabiliza en un valor positivo.
• D) InfinitoLa función tiene una asíntota horizontal, no crece sin límite.

Respuesta correcta: D) 2

• A) 1Sustituyendo k=1 daría 4 en la primera rama y 5 en la segunda.
• B) 5Este es el valor que debe alcanzar la función, no el valor de k.
• C) -1Resultado de un error en el despeje.
• D) 2Correcto. Rama izquierda: $3+k$. Rama derecha: $2(3)-1 = 5$. Igualando: $3+k=5 \Rightarrow k=2$.

Respuesta correcta: D) Tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.

• A) Es continua porque existen ambos límites.Los límites deben ser finitos e iguales para la continuidad.
• B) Tiene una discontinuidad evitable.En la evitable el límite debe ser finito.
• C) Es derivable en ese punto.Si no es continua, no puede ser derivable.
• D) Tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.Correcto. La presencia de límites infinitos define este tipo de discontinuidad.

Respuesta correcta: C) 1/2

• A) 0Error al simplificar la fracción resultante.
• B) 1Error de cálculo al sustituir el valor final.
• C) 1/2Correcto. Al multiplicar por el conjugado $(\sqrt{x+1}+1)$, el numerador queda $x$. Al simplificar con la $x$ del denominador, queda $1/(\sqrt{x+1}+1)$, que vale $1/2$ en $x=0$.
• D) No existe.Es una indeterminación salvable mediante técnicas algebraicas.

Respuesta correcta: B) -1

• A) 1Este es el límite por la derecha (valores positivos).
• B) -1Correcto. Para $x < 0$, $|x| = -x$. Entonces $(-x)/x = -1$.
• C) 0La función nunca vale 0 en el cociente.
• D) No existe el límite lateral.El límite lateral sí existe y es constante (-1).

Respuesta correcta: A) 1

• A) 1Correcto. Es un límite trigonométrico fundamental que demuestra la equivalencia de infinitésimos.
• B) 0El seno de x y x crecen casi de forma idéntica cerca de cero.
• C) InfinitoLa función está acotada cerca de cero.
• D) $\pi$No hay relación directa con el valor de pi en este límite.

Respuesta correcta: B) $x = 1$

• A) $x = 2$En $x=2$ solo se anula el denominador, produciendo una asíntota vertical (salto infinito).
• B) $x = 1$Correcto. $x=1$ anula tanto numerador como denominador. Al simplificar $(x-1)(x+1)/[(x-1)(x-2)]$, el factor $(x-1)$ desaparece.
• C) $x = -1$En $x=-1$ solo se anula el numerador, la función vale 0.
• D) No tiene discontinuidades evitables.La anulación simultánea en x=1 indica que es evitable.

Respuesta correcta: C) $e^2$

• A) 1Aunque la base tiende a 1, el exponente tiende a infinito; es la forma del número e.
• B) $e$Este sería el resultado si el numerador fuera 1.
• C) $e^2$Correcto. Siguiendo la regla del límite del número e: $e^{\lim_{x \to \infty} [x \cdot (1 + 2/x - 1)]} = e^2$.
• D) $e^{2x}$El resultado de un límite debe ser un valor constante o infinito, no una función de x.

Respuesta correcta: A) 5

• A) 5Correcto. El límite cuando $x \to \infty$ es $a$. Si queremos que sea 5, entonces $a = 5$.
• B) 1La altura máxima sería 1.
• C) 0La rampa no tendría altura.
• D) 10La altura máxima sería 10.

Respuesta correcta: A) 1

• A) 1Correcto. $m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x}{x^2-x} = 1$.
• B) 0Si fuera 0, tendría una asíntota horizontal.
• C) 2Error de cálculo en el límite del cociente.
• D) No tiene asíntota oblicua.Dado que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, sí existe.

Respuesta correcta: C) Que existe al menos un punto $c$ en $(0, 2)$ tal que $f(c) = 0$.

• A) Que la función es creciente en todo el intervalo.Bolzano no habla de monotonía.
• B) Que el valor máximo de la función es 5.Bolzano no identifica extremos absolutos.
• C) Que existe al menos un punto $c$ en $(0, 2)$ tal que $f(c) = 0$.Correcto. Al haber un cambio de signo en una función continua, esta debe cruzar el eje X.
• D) Que la derivada de la función se anula en el intervalo.Este es el Teorema de Rolle, no el de Bolzano.

Respuesta correcta: C) 2/3

• A) 1Los grados de las funciones dentro del logaritmo son distintos.
• B) 0Ambas funciones crecen a infinito con velocidades comparables.
• C) 2/3Correcto. Por propiedades: $\ln(x^2...)/\ln(x^3...) \approx \ln(x^2)/\ln(x^3) = (2\ln x)/(3\ln x) = 2/3$.
• D) 3/2Error al colocar los exponentes de la aproximación.

Respuesta correcta: D) Salto finito de 0 a 1.

• A) Ambos límites son $+\infty$.La función está acotada entre 0 y 1.
• B) La función es continua.Los límites laterales son distintos.
• C) El límite no existe porque oscila.Los límites laterales son constantes bien definidos.
• D) Salto finito de 0 a 1.Correcto. Por la derecha: $e^{+\infty} \to \infty$, $1/\infty \to 0$. Por la izquierda: $e^{-\infty} \to 0$, $1/(1+0) \to 1$.

Respuesta correcta: D) $2\sqrt{a}$

• A) 0El límite de la expresión no es 0.
• B) $\sqrt{a}$Error al simplificar el límite.
• C) $a^2$Error dimensional y conceptual en la simplificación.
• D) $2\sqrt{a}$Correcto. Factorizando: $(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})/(x-\sqrt{a}) = x+\sqrt{a}$. En $x=\sqrt{a}$, vale $\sqrt{a}+\sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.

Respuesta correcta: C) Que la función alcanza un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo.

• A) Que la función tiene una única raíz.Este es Bolzano (con cambio de signo).
• B) Que la función es derivable en todo el intervalo.La continuidad no implica derivabilidad (ej. valor absoluto).
• C) Que la función alcanza un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo.Correcto. Una función continua en un compacto siempre está acotada y alcanza sus valores extremos.
• D) Que la función es siempre positiva.No impone restricciones sobre el signo de los valores de la función.