Tema W01 — Matematicas Grado 11, Uruguay

Bloom: Remember

Un profesor en Montevideo repasa la clasificación de los números reales con su clase de sexto año.

¿A qué conjunto numérico pertenece el número

-7

?

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Respuesta correcta: D) Enteros ( $\mathbb{Z}$ )

A) Naturales ( $\mathbb{N}$ )Incorrecto. Los naturales son los números de conteo positivos; $-7$ es negativo.
B) Irracionales ( $\mathbb{I}$ )Incorrecto. Los irracionales tienen expansión decimal infinita no periódica; $-7$ es exacto.
C) PrimosIncorrecto. Los números primos son naturales mayores que 1 con solo dos divisores.
D) Enteros ( $\mathbb{Z}$ )¡Correcto! $-7$ es un entero negativo, elemento de $\mathbb{Z}$ .

💡 Explicación

Los enteros

\mathbb{Z}

incluyen los naturales, el cero y los negativos. Como

-7

es un número completo negativo, pertenece a

\mathbb{Z}

y, por extensión, a

\mathbb{Q}

y

\mathbb{R}

.

Bloom: Remember

En un liceo de Salto, los estudiantes identifican números irracionales en una lista.

¿Cuál de los siguientes números es irracional?

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Respuesta correcta: D) $\sqrt{2}$

A) $0.333$ ...Incorrecto. Es decimal infinito periódico, equivale a $\frac{1}{3}$ , por lo tanto racional.
B) $\frac{5}{8}$ Incorrecto. Toda fracción de enteros es un número racional.
C) $-4$ Incorrecto. $-4$ es un número entero, y todo entero es racional.
D) $\sqrt{2}$ ¡Correcto! $\sqrt{2}$ no puede expresarse como fracción de enteros; su decimal es infinito no periódico.

💡 Explicación

Un número es irracional si no puede escribirse como

\frac{a}{b}

con

a, b

enteros. Las raíces cuadradas de naturales que no son cuadrados perfectos, como

\sqrt{2}

, son irracionales.

Bloom: Understand

Una estudiante de Punta del Este convierte fracciones a decimales para comparar precios.

¿Cuál es la expresión decimal de la fracción

\frac{7}{8}

?

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Respuesta correcta: B) $0.875$

A) $0.78$ Incorrecto. Parece surgir de concatenar numerador y denominador, sin efectuar la división.
B) $0.875$ ¡Correcto! $7 \div 8 = 0.875$ , decimal exacto.
C) $1.75$ Incorrecto. Ese resultado corresponde a $\frac{14}{8}$ , no a $\frac{7}{8}$ .
D) $0.857$ Incorrecto. Es una aproximación con dígitos reordenados; la división exacta da $0.875$ .

💡 Explicación

Para convertir una fracción a decimal se divide el numerador entre el denominador:

7 \div 8 = 0.875

. Como el denominador solo tiene el factor primo 2, el decimal es exacto.

Bloom: Understand

Un carpintero de Colonia del Sacramento estima medidas entre raíces cuadradas.

¿Cuántos números enteros hay estrictamente entre

\sqrt{10}

y

\sqrt{50}

?

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Respuesta correcta: A) 4

A) 4¡Correcto! Entre $3.16$ ... y $7.07$ ... están los enteros 4, 5, 6 y 7.
B) 3Incorrecto. Falta contar un entero; revisá las cotas $3.16$ ... y $7.07$ ....
C) 5Incorrecto. Se cuenta un entero de más, quizá incluyendo un extremo que no es entero.
D) 40Incorrecto. Ese número surge de restar los radicandos $50 - 10$ , no de ubicar las raíces en la recta.

💡 Explicación

Como

\sqrt{10} \approx 3.16

y

\sqrt{50} \approx 7.07

, los enteros estrictamente intermedios son 4, 5, 6 y 7: cuatro en total. Acotar raíces entre cuadrados perfectos cercanos agiliza la estimación.

Bloom: Understand

Un técnico en Montevideo calcula diferencias de temperatura usando valores absolutos.

Calcula el valor de

|-12| - |5|

.

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Respuesta correcta: C) 7

A) 17Incorrecto. Ese resultado es la suma de los módulos, no la resta pedida.
B) $-7$ Incorrecto. El valor absoluto nunca es negativo; la resta da $7$ positivo.
C) 7¡Correcto! $|-12| = 12$ y $|5| = 5$ , entonces $12 - 5 = 7$ .
D) $-17$ Incorrecto. Confunde el orden de las operaciones y los signos de los módulos.

💡 Explicación

El valor absoluto de un número es su distancia al cero:

|-12| = 12

y

|5| = 5

. La operación pedida es

12 - 5 = 7

.

Bloom: Apply

En un laboratorio de Paysandú se combinan potencias al registrar crecimiento bacteriano.

Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica

2^3 \cdot 2^2

.

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Respuesta correcta: C) $2^5 = 32$

A) $2^6 = 64$ Incorrecto. Multiplicaste los exponentes; al multiplicar potencias de igual base se suman.
B) $4^5$ Incorrecto. No se suman las bases; la base común 2 se conserva.
C) $2^5 = 32$ ¡Correcto! $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$ .
D) $2^1 = 2$ Incorrecto. Restaste los exponentes; la regla del producto indica sumarlos.

💡 Explicación

La regla del producto de potencias de igual base dice

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

. Aquí

2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32

.

Bloom: Apply

Un físico de la Universidad de la República expresa mediciones muy pequeñas en notación científica.

Expresa el número

0.00045

en notación científica.

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Respuesta correcta: A) $4.5 \times 10^{-4}$

A) $4.5 \times 10^{-4}$ ¡Correcto! La coma se desplaza 4 lugares a la derecha, por eso el exponente es $-4$ .
B) $4.5 \times 10^{4}$ Incorrecto. El exponente positivo agrandaría el número; los valores menores que 1 llevan exponente negativo.
C) $4.5 \times 10^{-3}$ Incorrecto. Contaste un lugar de menos al mover la coma decimal.
D) $5.4 \times 10^{-4}$ Incorrecto. Se invirtieron los dígitos del coeficiente; debe quedar $4.5$ .

💡 Explicación

En notación científica se escribe

a \times 10^n

con

1 \le a < 10

. Para

0.00045

, la coma se mueve 4 posiciones a la derecha, así

a = 4.5

y

n = -4

.

Bloom: Apply

Un agrimensor en Rivera simplifica expresiones con radicales para un plano de terreno.

Simplifica la expresión

\sqrt{50} - \sqrt{8}

.

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Respuesta correcta: A) $3\sqrt{2}$

A) $3\sqrt{2}$ ¡Correcto! $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ y $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , entonces la resta da $3\sqrt{2}$ .
B) $\sqrt{42}$ Incorrecto. No se restan los radicandos directamente; primero hay que descomponer cada raíz.
C) $7\sqrt{2}$ Incorrecto. Proviene de sumar $5\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$ en lugar de restar.
D) $2\sqrt{2}$ Incorrecto. Ese es solo el valor de $\sqrt{8}$ ; falta operar con $\sqrt{50}$ .

💡 Explicación

Se extraen factores cuadrados:

\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}

y

\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}

. Como los radicales son semejantes, se restan los coeficientes:

5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}

.

Bloom: Apply

Un analista de datos en Montevideo trabaja con intervalos de tiempo de conexión.

Dados los intervalos

A = [-2, 3]

y

B = [1, 5)

, determina

A \cap B

.

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Respuesta correcta: C) $[1, 3]$

A) $(1, 3)$ Incorrecto. El 1 está incluido en ambos intervalos, por eso el corchete corresponde.
B) $[-2, 5)$ Incorrecto. Esa es la unión $A \cup B$ , no la intersección.
C) $[1, 3]$ ¡Correcto! La intersección va del mayor extremo inferior (1) al menor extremo superior (3), ambos incluidos.
D) $(1, 3]$ Incorrecto. El extremo inferior 1 pertenece a $A$ y a $B$ , así que se incluye con corchete.

💡 Explicación

La intersección conserva los valores comunes: el extremo inferior es

\max(-2, 1) = 1

(incluido) y el superior es

\min(3, 5) = 3

(incluido). Resultado:

[1, 3]

.

Bloom: Apply

Una librería de Montevideo ajusta el precio de un libro de $U\,800$ con un aumento del 15%.

Si un libro cuesta $\

U\,800

y su precio aumenta un 15%, ¿cuál es el nuevo precio?

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Respuesta correcta: D) $\ $U\,920$

A) $\ $U\,815$ Incorrecto. Sumaste 15 pesos en lugar del 15% de 800.
B) $\ $U\,900$ Incorrecto. Ese aumento corresponde al 12.5%, no al 15%.
C) $\ $U\,960$ Incorrecto. Ese resultado corresponde a un aumento del 20%.
D) $\ $U\,920$ ¡Correcto! $800 \times 1.15 = 920$ pesos uruguayos.

💡 Explicación

Un aumento del 15% equivale a multiplicar por

1.15

:

800 \times 1.15 = 920

. También puede calcularse

800 + 0.15 \times 800 = 800 + 120 = 920

.

Bloom: Analyze

En un concurso liceal de Maldonado se pide ordenar números negativos con raíces y fracciones.

De los números

-\sqrt{3}

,

-1.7

,

-\frac{3}{2}

y

-1.41

, ¿cuál es el menor?

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Respuesta correcta: B) $-\sqrt{3}$

A) $-1.7$ Incorrecto. $-1.7 > -1.732$ ...; compará con más decimales.
B) $-\sqrt{3}$ ¡Correcto! $-\sqrt{3} \approx -1.732$ , el más alejado del cero hacia la izquierda.
C) $-\frac{3}{2}$ Incorrecto. $-\frac{3}{2} = -1.5$ , mayor que $-\sqrt{3}$ .
D) $-1.41$ Incorrecto. Es el mayor de los cuatro por estar más cerca del cero.

💡 Explicación

En los negativos, es menor el de mayor valor absoluto. Como

\sqrt{3} \approx 1.732 > 1.7 > 1.5 > 1.41

, el orden inverso da

-\sqrt{3}

como el menor.

Bloom: Analyze

Una docente en Canelones muestra que entre dos racionales siempre hay otro racional.

¿Cuál de las siguientes fracciones está entre

\frac{2}{5}

y

\frac{3}{5}

?

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Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2}$

A) $\frac{1}{3}$ Incorrecto. $\frac{1}{3} \approx 0.333$ , menor que $0.4$ .
B) $\frac{7}{10}$ Incorrecto. $\frac{7}{10} = 0.7$ , supera a $\frac{3}{5} = 0.6$ .
C) $\frac{1}{2}$ ¡Correcto! $0.4 < 0.5 < 0.6$ , así que $\frac{1}{2}$ está entre ambas.
D) $\frac{1}{4}$ Incorrecto. $\frac{1}{4} = 0.25$ , está por debajo del intervalo.

💡 Explicación

Convirtiendo a decimales:

\frac{2}{5} = 0.4

y

\frac{3}{5} = 0.6

. La única opción en

(0.4; 0.6)

es

\frac{1}{2} = 0.5

, lo que ilustra la densidad de

\mathbb{Q}

.

Bloom: Analyze

Un grupo de sexto año en Montevideo debate propiedades de los números reales.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los números reales es siempre verdadera?

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Respuesta correcta: B) Para todo número real $x$ , se cumple $x^2 \ge 0$ .

A) Todo número real tiene inverso multiplicativo.Incorrecto. El 0 es real y no tiene inverso multiplicativo.
B) Para todo número real $x$ , se cumple $x^2 \ge 0$ .¡Correcto! El cuadrado de cualquier real es no negativo.
C) La raíz cuadrada de un número negativo es un número real.Incorrecto. Las raíces de índice par de negativos no son reales.
D) $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ para todos los reales $a$ y $b$ .Incorrecto. Falta el término $2ab$ ; es un error algebraico clásico.

💡 Explicación

La única afirmación universal es la no negatividad del cuadrado:

x^2 \ge 0

para todo

x \in \mathbb{R}

. Las demás fallan con contraejemplos simples:

x = 0

,

x = -1

,

a = b = 1

.

Bloom: Analyze

Un programador en Montevideo simplifica expresiones con raíces de cuadrados en un algoritmo.

Para cualquier número real

x

, la expresión

\sqrt{x^2}

es equivalente a:

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Respuesta correcta: B) $|x|$

A) $x$ Incorrecto. Si $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es positivo y no coincide con $x$ .
B) $|x|$ ¡Correcto! La raíz cuadrada devuelve siempre el valor no negativo, es decir, el módulo.
C) $-x$ Incorrecto. Solo coincide cuando $x \le 0$ ; no vale para todo real.
D) $x^2$ Incorrecto. La raíz deshace el cuadrado en módulo, no lo conserva.

💡 Explicación

Por definición, la raíz cuadrada principal es no negativa, por lo que

\sqrt{x^2} = |x|

. Esta identidad es clave para no perder soluciones al resolver ecuaciones con radicales.

Bloom: Analyze

Un ingeniero en Salto estima el error de truncar $\pi$ al diseñar una pieza circular.

Si se trunca el número

\pi = 3.141592

... al valor

3.14

, el error absoluto cometido es aproximadamente:

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Respuesta correcta: C) $0.0016$

A) $0.0159$ Incorrecto. Corrió la coma un lugar; el error está en el orden de las milésimas.
B) $0.00016$ Incorrecto. Subestima el error en un factor de diez.
C) $0.0016$ ¡Correcto! $\pi - 3.14 \approx 0.00159$ , que redondea a $0.0016$ .
D) $0.16$ Incorrecto. Sobrestima el error; la diferencia real es menor a dos milésimas.

💡 Explicación

El error absoluto es

|\pi - 3.14| = 0.001592

..., del orden de

1.6 \times 10^{-3}

. Truncar a dos decimales introduce errores menores que media centésima.

Bloom: Analyze

Una estudiante de Rocha resuelve una ecuación con radical para un trabajo práctico.

Resuelve la ecuación

\sqrt{2x + 1} = 5

.

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Respuesta correcta: B) $x = 12$

A) $x = 10$ Incorrecto. Surge de plantear $2x + 1 = 21$ o de dividir mal; verificá elevando al cuadrado.
B) $x = 12$ ¡Correcto! $2x + 1 = 25$ implica $2x = 24$ , así $x = 12$ y verifica: $\sqrt{25} = 5$ .
C) $x = 2$ Incorrecto. Con $x = 2$ el radicando vale 5 y su raíz no es 5.
D) $x = 25$ Incorrecto. Confunde el valor del radicando con el de la incógnita.

💡 Explicación

Elevando al cuadrado ambos miembros:

2x + 1 = 25

, luego

x = 12

. Siempre hay que verificar la solución en la ecuación original porque elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas.

Bloom: Evaluate

En un debate de clase en Montevideo se discute si $0.999$ ... es igual a 1.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre

0.999

... (decimal infinito periódico) es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Es igual a 1, pues $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} +$ ... suma exactamente 1.

A) Es menor que 1 porque siempre falta un 9.Incorrecto. Con infinitos nueves no existe diferencia positiva entre ambos; es un razonamiento finito aplicado a un proceso infinito.
B) Es igual a 1, pues $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} +$ ... suma exactamente 1.¡Correcto! La serie geométrica de razón $\frac{1}{10}$ suma $\frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ .
C) Es igual a 1 solo si se redondea.Incorrecto. No hace falta redondear: es exactamente 1, otra escritura del mismo número.
D) Es un número irracional por tener infinitos decimales.Incorrecto. Es periódico, por lo tanto racional: $0.999... = \frac{9}{9} = 1$ .

💡 Explicación

Toda expansión periódica representa un racional:

x = 0.999

... implica

10x = 9.999

... y restando

9x = 9

, así

x = 1

. La igualdad es exacta, no una aproximación.

Bloom: Evaluate

Un examen de Bachillerato en Tacuarembó pide evaluar afirmaciones sobre irracionales.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los números irracionales es correcta?

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Respuesta correcta: D) La suma de un racional y un irracional es siempre irracional.

A) La suma de dos irracionales es siempre irracional.Incorrecto. Contraejemplo: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ , que es racional.
B) El producto de dos irracionales es siempre irracional.Incorrecto. Contraejemplo: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , racional.
C) Todo número con infinitas cifras decimales es irracional.Incorrecto. Los decimales periódicos como $0.333$ ... tienen infinitas cifras y son racionales.
D) La suma de un racional y un irracional es siempre irracional.¡Correcto! Si diera racional, restando el racional quedaría el irracional como racional, contradicción.

💡 Explicación

La clave es distinguir lo que siempre se cumple de lo que a veces ocurre. Solo la suma racional + irracional está garantizada como irracional; los demás enunciados admiten contraejemplos.

Bloom: Evaluate

Un ahorrista de Montevideo deposita $\ $U\,100\,000$ en un plazo fijo a interés simple del 5% anual durante 3 años.

¿Qué interés total genera el depósito al cabo de los 3 años con interés simple?

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Respuesta correcta: A) $\ $U\,15\,000$

A) $\ $U\,15\,000$ ¡Correcto! $I = 100\,000 \times 0.05 \times 3 = 15\,000$ pesos.
B) $\ $U\,5\,000$ Incorrecto. Ese es el interés de un solo año; hay que multiplicar por los 3 años.
C) $\ $U\,15\,762$ Incorrecto. Ese valor corresponde al interés compuesto, no al simple pedido.
D) $\ $U\,30\,000$ Incorrecto. Duplica el interés correcto, quizá por usar el 10% anual.

💡 Explicación

El interés simple es

I = C \cdot r \cdot t = 100\,000 \times 0.05 \times 3 = 15\,000

. A diferencia del compuesto, aquí el capital no se actualiza cada período.

Bloom: Evaluate

Una docente de Cerro Largo propone comparar potencias de un número entre 0 y 1.

Si

x = 0.75

, ¿cuál de las siguientes relaciones entre sus potencias es verdadera?

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Respuesta correcta: C) $x^3 < x^2$

A) $x^3 > x^2$ Incorrecto. Para $0 < x < 1$ , multiplicar por $x$ achica el resultado; la intuición de "potencia mayor, número mayor" falla aquí.
B) $x^3 = x^2$ Incorrecto. Solo serían iguales si $x = 0$ o $x = 1$ .
C) $x^3 < x^2$ ¡Correcto! Con $0 < x < 1$ , cada potencia sucesiva es menor: $0.75^3 = 0.421875 < 0.5625 = 0.75^2$ .
D) La relación depende del redondeo que se use.Incorrecto. La desigualdad es exacta y no depende de aproximaciones.

💡 Explicación

Para bases entre 0 y 1 la función potencia es decreciente en el exponente:

x^3 = x^2 \cdot x < x^2

porque

x < 1

. Evaluar el signo de la base evita generalizaciones erróneas desde los enteros.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?