Tema W03 — Matematicas Grado 11, Uruguay

Bloom: Remember

Una docente de Montevideo introduce el tema de ecuaciones en sexto año de liceo.

¿Qué es una ecuación lineal con una incógnita?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Una igualdad donde la incógnita aparece con exponente 1.

A) Una igualdad donde la incógnita aparece con exponente 1.¡Correcto! La linealidad significa grado 1 en la incógnita.
B) Una igualdad donde la incógnita está elevada al cuadrado.Incorrecto. Eso sería una ecuación cuadrática, de grado 2.
C) Una desigualdad con una incógnita.Incorrecto. Las desigualdades son inecuaciones, no ecuaciones.
D) Una expresión algebraica sin signo de igual.Incorrecto. Sin igualdad no hay ecuación; es solo una expresión.

💡 Explicación

Una ecuación lineal tiene la forma

ax + b = 0

con

a \ne 0

. Su característica esencial es la igualdad y el exponente 1 de la incógnita.

Bloom: Remember

En un liceo de Salto se resuelven ecuaciones de un solo paso.

¿Cuál es la solución de la ecuación

x + 7 = 12

?

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Respuesta correcta: B) $x = 5$

A) $x = 19$ Incorrecto. Sumaste en lugar de restar el 7.
B) $x = 5$ ¡Correcto! $x = 12 - 7 = 5$ .
C) $x = -5$ Incorrecto. Revisá el signo: 12 es mayor que 7, la diferencia es positiva.
D) $x = 7$ Incorrecto. Ese es el término que hay que trasponer, no la solución.

💡 Explicación

Se aplica la operación inversa en ambos miembros: restando 7 queda

x = 5

. La verificación

5 + 7 = 12

confirma el resultado.

Bloom: Understand

Un estudiante de Colonia del Sacramento resuelve una ecuación de dos pasos.

Resuelve

3x - 6 = 9

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 5$

A) $x = 1$ Incorrecto. Provienede dividir sin sumar primero el 6 en ambos miembros.
B) $x = 5$ ¡Correcto! $3x = 15$ , entonces $x = 5$ .
C) $x = 3$ Incorrecto. Calculaste $9 \div 3$ sin despejar el término independiente.
D) $x = 15$ Incorrecto. Ese es el valor de $3x$ , falta dividir por 3.

💡 Explicación

Primero se despeja el término con la incógnita:

3x = 9 + 6 = 15

; luego se divide:

x = 5

. Verificación:

3(5) - 6 = 9

.

Bloom: Understand

Una profesora de Punta del Este interpreta gráficamente un sistema de dos ecuaciones.

Geométricamente, la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa:

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) El punto de intersección de las dos rectas.

A) La pendiente de una de las rectas.Incorrecto. La pendiente es un coeficiente, no la solución del sistema.
B) El área encerrada entre las dos rectas.Incorrecto. Dos rectas no encierran un área finita.
C) El punto de intersección de las dos rectas.¡Correcto! El par $(x, y)$ que cumple ambas ecuaciones es donde se cruzan las rectas.
D) El punto donde cada recta corta al eje $y$ .Incorrecto. Esas son las ordenadas al origen, no necesariamente la solución común.

💡 Explicación

Cada ecuación lineal es una recta en el plano. El par solución satisface ambas simultáneamente, así que corresponde al punto donde se intersecan.

Bloom: Understand

Un técnico de Canelones despeja valores de una ecuación con paréntesis.

Resuelve

2(x - 3) = 10

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 8$

A) $x = 4$ Incorrecto. Dividiste entre 2 pero no sumaste el 3 después.
B) $x = 8$ ¡Correcto! $x - 3 = 5$ , luego $x = 8$ . Verificación: $2(5) = 10$ .
C) $x = 13$ Incorrecto. Sumaste 3 al 10 antes de dividir; el orden correcto es dividir primero.
D) $x = 6.5$ Incorrecto. Distribuiste mal: $2x - 3 = 10$ no es equivalente a la ecuación original.

💡 Explicación

Se puede dividir primero entre 2:

x - 3 = 5

, de donde

x = 8

. También vale distribuir:

2x - 6 = 10

,

2x = 16

,

x = 8

.

Bloom: Apply

Una panadera de Maldonado calcula cantidades con una ecuación fraccionaria.

Resuelve la ecuación

\frac{x}{3} + 2 = 5

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 9$

A) $x = 1$ Incorrecto. Dividiste 3 entre 3 en lugar de multiplicar para despejar.
B) $x = 21$ Incorrecto. Multiplicaste 5 por 3 y sumaste; primero hay que restar el 2.
C) $x = 9$ ¡Correcto! $\frac{x}{3} = 3$ , entonces $x = 9$ .
D) $x = 3$ Incorrecto. Ese es el valor de $\frac{x}{3}$ , no de $x$ .

💡 Explicación

Se resta 2:

\frac{x}{3} = 3

; se multiplica por 3:

x = 9

. Verificación:

\frac{9}{3} + 2 = 3 + 2 = 5

.

Bloom: Apply

Un estudiante de Tacuarembó resuelve un sistema por sustitución.

Dado el sistema

y = x + 1

y

x + y = 7

, ¿cuál es el valor de

x

?

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Respuesta correcta: A) $x = 3$

A) $x = 3$ ¡Correcto! Sustituyendo: $x + (x+1) = 7$ , $2x = 6$ , $x = 3$ .
B) $x = 4$ Incorrecto. Ese es el valor de $y$ , no el de $x$ .
C) $x = 2$ Incorrecto. Olvidaste sumar el 1 al trasponer términos.
D) $x = 5$ Incorrecto. Revisá la sustitución: $2x + 1 = 7$ da $x = 3$ .

💡 Explicación

Como

y

ya está despejada, se sustituye en la segunda ecuación:

x + x + 1 = 7

, así

2x = 6

y

x = 3

(con

y = 4

).

Bloom: Apply

En un cine de Montevideo, la entrada de adulto cuesta $\ $U\,300$ y la de niño $\ $U\,180$ . Una familia compró 10 entradas por un total de $\ $U\,2\,520$ .

¿Cuántas entradas de adulto compró la familia?

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Respuesta correcta: C) 6

A) 4Incorrecto. Con 4 adultos el total sería $1200 + 1080 = 2280$ , no 2520.
B) 5Incorrecto. Con 5 adultos el total sería $1500 + 900 = 2400$ .
C) 6¡Correcto! $300(6) + 180(4) = 1800 + 720 = 2520$ y $6 + 4 = 10$ .
D) 7Incorrecto. Con 7 adultos el total sería $2100 + 540 = 2640$ .

💡 Explicación

Planteando

a + n = 10

y

300a + 180n = 2520

, se sustituye

n = 10 - a

:

300a + 180(10-a) = 2520

, así

120a = 720

y

a = 6

.

Bloom: Apply

Un contador de Rivera agrupa términos con la incógnita en ambos miembros.

Resuelve la ecuación

5x - 2 = 3x + 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 5$

A) $x = 3$ Incorrecto. Restaste los coeficientes mal; $5x - 3x = 2x$ y $8 + 2 = 10$ , así $x = 5$ .
B) $x = 5$ ¡Correcto! $2x = 10$ , entonces $x = 5$ .
C) $x = 10$ Incorrecto. Ese es el valor de $2x$ ; falta dividir entre 2.
D) $x = -5$ Incorrecto. Trasladaste términos con signos invertidos.

💡 Explicación

Agrupando incógnitas a la izquierda y números a la derecha:

5x - 3x = 8 + 2

, es decir

2x = 10

, así

x = 5

.

Bloom: Apply

En Paysandú, Ana tiene el doble de la edad de Bruno. Dentro de 6 años, las edades de ambos sumarán 48 años.

¿Cuál es la edad actual de Bruno?

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Respuesta correcta: B) 12 años

A) 10 añosIncorrecto. Si Bruno tuviera 10, la suma futura sería $36$ , no $48$ .
B) 12 años¡Correcto! $3B + 12 = 48$ da $B = 12$ ; Ana tiene 24 y en 6 años suman $30 + 18 = 48$ .
C) 16 añosIncorrecto. Ese valor haría que la suma futura fuera $60$ .
D) 24 añosIncorrecto. Esa es la edad de Ana, no la de Bruno.

💡 Explicación

Sea

B

la edad de Bruno: Ana tiene

2B

. En 6 años:

(2B + 6) + (B + 6) = 48

, así

3B = 36

y

B = 12

.

Bloom: Analyze

Un docente de Durazno clasifica sistemas según su número de soluciones.

El sistema formado por

2x + y = 5

y

4x + 2y = 8

es:

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Respuesta correcta: B) Incompatible: las rectas son paralelas y no hay solución.

A) Compatible determinado: tiene una única solución.Incorrecto. Las rectas no se cortan; los coeficientes son proporcionales pero los términos independientes no.
B) Incompatible: las rectas son paralelas y no hay solución.¡Correcto! $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} \ne \frac{5}{8}$ : misma pendiente, distinta ordenada.
C) Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.Incorrecto. Para eso la segunda ecuación debería ser $4x + 2y = 10$ , múltiplo exacto de la primera.
D) Incompatible porque las rectas son perpendiculares.Incorrecto. Las perpendiculares sí se cortan en un punto; el sistema sería determinado.

💡 Explicación

Comparando razones: los coeficientes de

x

e

y

duplican, pero el término independiente no. Las rectas son paralelas distintas: sistema incompatible.

Bloom: Analyze

Una comerciante de Artigas maneja decimales al calcular el precio por kilo.

Resuelve la ecuación

0.5x + 0.25 = 1.75

.

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Respuesta correcta: B) $x = 3$

A) $x = 2$ Incorrecto. Con $x = 2$ queda $1 + 0.25 = 1.25 \ne 1.75$ .
B) $x = 3$ ¡Correcto! $0.5x = 1.5$ , entonces $x = 3$ .
C) $x = 1.5$ Incorrecto. Ese es el valor de $0.5x$ , no de $x$ .
D) $x = 4$ Incorrecto. Probablemente restaste $0.25$ de más o dividiste mal.

💡 Explicación

Se resta

0.25

:

0.5x = 1.5

; se divide entre

0.5

(o se multiplica por 2):

x = 3

. Trabajar con decimales exactos evita errores de redondeo.

Bloom: Analyze

En un repaso de Bachillerato en Melo se identifican sistemas con infinitas soluciones.

¿Cuál de los siguientes sistemas tiene infinitas soluciones?

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Respuesta correcta: A) $x + y = 4$ y $2x + 2y = 8$

A) $x + y = 4$ y $2x + 2y = 8$ ¡Correcto! La segunda ecuación es el doble de la primera: representan la misma recta.
B) $x + y = 4$ y $x + y = 6$ Incorrecto. Misma pendiente pero distinta ordenada: son paralelas, sin solución.
C) $x + y = 4$ y $x - y = 2$ Incorrecto. Tienen única solución $(3, 1)$ ; las rectas se cortan.
D) $2x + y = 4$ y $x + 2y = 8$ Incorrecto. Las pendientes son distintas; hay una única solución.

💡 Explicación

Un sistema es indeterminado cuando una ecuación es múltiplo de la otra. Aquí

2(x + y) = 2 \cdot 4

reproduce la segunda ecuación: todas las soluciones de una sirven para la otra.

Bloom: Apply

Un ingeniero de San José resuelve un sistema por reducción para dimensionar una obra.

Dado el sistema

3x + 2y = 16

y

x - y = 2

, ¿cuál es el valor del producto

x \cdot y

?

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Respuesta correcta: B) 8

A) 6Incorrecto. Ese sería $x + y$ ; se pide el producto.
B) 8¡Correcto! La solución es $x = 4$ , $y = 2$ , y $4 \cdot 2 = 8$ .
C) 12Incorrecto. Provienede una solución errónea del sistema; verificá en ambas ecuaciones.
D) 4Incorrecto. Ese es el valor de $x$ , no el producto pedido.

💡 Explicación

De la segunda ecuación

x = y + 2

; sustituyendo:

3(y+2) + 2y = 16

,

5y = 10

,

y = 2

,

x = 4

. El producto es 8.

Bloom: Analyze

Una estudiante de Florida analiza dos rectas dadas en forma explícita.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema

y = 2x + 1

,

y = 2x - 3

?

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Respuesta correcta: C) Ninguna solución, porque las rectas son paralelas.

A) Una solución, en el punto donde se cruzan.Incorrecto. Las pendientes son iguales; las rectas nunca se cortan.
B) Infinitas soluciones.Incorrecto. Las ordenadas al origen difieren, así que son rectas distintas.
C) Ninguna solución, porque las rectas son paralelas.¡Correcto! Misma pendiente 2 y distinta ordenada: paralelas, sistema incompatible.
D) Dos soluciones, una por cada recta.Incorrecto. Un sistema lineal no puede tener exactamente dos soluciones.

💡 Explicación

En forma explícita, comparar pendientes y ordenadas decide el tipo de sistema:

m_1 = m_2 = 2

y

b_1 \ne b_2

implica rectas paralelas y cero soluciones.

Bloom: Analyze

Un profesor de Rocha propone un problema inverso: hallar un coeficiente conocida la solución.

Si la solución de la ecuación

ax + 3 = 11

es

x = 4

, ¿cuál es el valor de

a

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $a = 2$

A) $a = 3$ Incorrecto. Con $a = 3$ queda $12 + 3 = 15 \ne 11$ .
B) $a = 1$ Incorrecto. Con $a = 1$ queda $4 + 3 = 7 \ne 11$ .
C) $a = 2$ ¡Correcto! $4a = 11 - 3 = 8$ , entonces $a = 2$ .
D) $a = 8$ Incorrecto. Ese es el valor de $4a$ , no de $a$ .

💡 Explicación

Sustituir la solución conocida convierte la ecuación en una nueva ecuación para

a

:

4a + 3 = 11

, de donde

a = 2

.

Bloom: Evaluate

Una docente de Minas pregunta cuál método de resolución es más eficiente para un sistema dado.

Para el sistema

y = 3x - 2

y

2x + y = 8

, ¿cuál método es el más directo y por qué?

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Respuesta correcta: A) Sustitución, porque $y$ ya está despejada en la primera ecuación.

A) Sustitución, porque $y$ ya está despejada en la primera ecuación.¡Correcto! Reemplazar $y$ directamente evita pasos algebraicos extra.
B) Reducción, porque los coeficientes de $x$ son distintos.Incorrecto. La reducción exigiría multiplicar ecuaciones; la sustitución es inmediata aquí.
C) Igualación, porque ambas ecuaciones tienen $y$ despejada.Incorrecto. La segunda ecuación no tiene $y$ despejada; habría que despejarla primero.
D) Método gráfico, porque es el más exacto.Incorrecto. El gráfico es aproximado; los métodos algebraicos dan la solución exacta.

💡 Explicación

Elegir el método según la estructura ahorra trabajo: con una incógnita ya despejada, la sustitución es inmediata:

2x + (3x - 2) = 8

,

x = 2

,

y = 4

.

Bloom: Evaluate

En un examen de Bachillerato en Treinta y Tres se pide validar una posible solución.

¿Es el par

(2, 5)

solución del sistema

x + y = 7

,

2x - y = -1

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Sí, porque $2 + 5 = 7$ y $2(2) - 5 = -1$ cumplen ambas ecuaciones.

A) Sí, porque $2 + 5 = 7$ y $2(2) - 5 = -1$ cumplen ambas ecuaciones.¡Correcto! El par satisface las dos ecuaciones simultáneamente.
B) No, porque solo cumple la primera ecuación.Incorrecto. También cumple la segunda: $4 - 5 = -1$ .
C) No, porque los valores deben ser negativos.Incorrecto. Nada en el sistema exige soluciones negativas.
D) No se puede saber sin graficar.Incorrecto. Basta sustituir los valores en ambas ecuaciones.

💡 Explicación

Verificar un par significa sustituirlo en todas las ecuaciones del sistema. Como

(2, 5)

cumple

2+5=7

y

4-5=-1

, es solución.

Bloom: Evaluate

Dos empresas de transporte de Montevideo ofrecen tarifas distintas: la empresa A cobra $\ $U\,200$ fijos más $\ $U\,30$ por km; la empresa B cobra $\ $U\,50$ por km sin costo fijo.

¿Para qué distancias resulta más barata la empresa A?

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Respuesta correcta: B) Para trayectos de más de 10 km.

A) Para trayectos de menos de 10 km.Incorrecto. Ahí domina el costo fijo: con 5 km, A cuesta 350 y B solo 250.
B) Para trayectos de más de 10 km.¡Correcto! $200 + 30d < 50d$ equivale a $d > 10$ : a partir de 10 km conviene A.
C) Siempre es más barata la empresa A.Incorrecto. En trayectos cortos el fijo de 200 la hace más cara.
D) Nunca, la empresa B siempre conviene.Incorrecto. El menor precio por km de A termina compensando el fijo en viajes largos.

💡 Explicación

Se comparan los costos:

200 + 30d < 50d

da

d > 10

. En

d = 10

ambas cobran 500; más allá, la tarifa menor por km de A domina.

Bloom: Evaluate

Un docente de Cerro Largo propone un sistema con parámetro para evaluar el análisis de coeficientes.

¿Para qué valor de

k

el sistema

x + ky = 4

y

2x + 4y = 8

tiene infinitas soluciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $k = 2$

A) $k = 1$ Incorrecto. Con $k = 1$ las rectas tienen distinta pendiente: solución única.
B) $k = 0$ Incorrecto. El sistema quedaría $x = 4$ y $x + 2y = 4$ : solución única.
C) $k = 4$ Incorrecto. Con $k = 4$ las razones de coeficientes difieren: solución única.
D) $k = 2$ ¡Correcto! Con $k = 2$ la segunda ecuación es el doble de la primera: misma recta.

💡 Explicación

Para infinitas soluciones se necesita proporcionalidad total:

\frac{1}{2} = \frac{k}{4} = \frac{4}{8}

. La primera razón exige

k = 2

, que también cumple la proporción de los términos independientes.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?