Tema W04

Respuesta correcta: B) $ax^2 + bx + c = 0$, con $a \ne 0$

• A) $ax + b = 0$, con $a \ne 0$Incorrecto. Esa es la forma general de la ecuación lineal, de grado 1.
• B) $ax^2 + bx + c = 0$, con $a \ne 0$¡Correcto! El coeficiente principal debe ser no nulo para que sea de grado 2.
• C) $ax^2 + bx + c = 0$, con cualquier valor de $a$Incorrecto. Si $a = 0$ la ecuación degenera a lineal.
• D) $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$Incorrecto. Esa es una ecuación cúbica, de grado 3.

Respuesta correcta: D) Dos soluciones reales distintas.

• A) Una única solución real doble.Incorrecto. Eso ocurre cuando $\Delta = 0$.
• B) Ninguna solución real.Incorrecto. Eso sucede con $\Delta < 0$.
• C) Infinitas soluciones.Incorrecto. Una ecuación de grado 2 tiene a lo sumo dos raíces.
• D) Dos soluciones reales distintas.¡Correcto! $\Delta > 0$ garantiza dos raíces reales diferentes.

Respuesta correcta: A) $x = 7$ y $x = -7$

• A) $x = 7$ y $x = -7$¡Correcto! Ambas raíces cuadradas de 49 verifican la ecuación.
• B) Solo $x = 7$Incorrecto. Falta la raíz negativa; al elevar al cuadrado, $(-7)^2$ también da 49.
• C) $x = 24.5$Incorrecto. Dividiste 49 entre 2; la operación inversa del cuadrado es la raíz.
• D) No tiene soluciones reales.Incorrecto. Los cuadrados de 7 y $-7$ existen y valen 49.

Respuesta correcta: C) $x = 2$ y $x = 5$

• A) $x = -2$ y $x = -5$Incorrecto. Invertiste los signos; cada factor se anula con el valor positivo.
• B) $x = 2$ únicamenteIncorrecto. El segundo factor también aporta una solución.
• C) $x = 2$ y $x = 5$¡Correcto! Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero.
• D) $x = 10$Incorrecto. Multiplicaste $2 \times 5$; la propiedad del producto nulo se aplica a cada factor.

Respuesta correcta: A) $\Delta = 4$

• A) $\Delta = 4$¡Correcto! $4^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
• B) $\Delta = 28$Incorrecto. Sumaste $16 + 12$ en lugar de restar $4ac$.
• C) $\Delta = -4$Incorrecto. Revisá los signos: $16 - 12$ es positivo.
• D) $\Delta = 16$Incorrecto. Ese es solo $b^2$; falta restar $4ac$.

Respuesta correcta: A) $x = 2$ y $x = 3$

• A) $x = 2$ y $x = 3$¡Correcto! $(x-2)(x-3) = 0$, y $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$.
• B) $x = 1$ y $x = 6$Incorrecto. Aunque $1 \cdot 6 = 6$, la suma es 7 y no $-(-5) = 5$.
• C) $x = -2$ y $x = -3$Incorrecto. Esos valores darían $x^2 + 5x + 6$.
• D) $x = 2$ y $x = -3$Incorrecto. Su producto es $-6$, no $+6$.

Respuesta correcta: A) $x = 0$ y $x = 9$

• A) $x = 0$ y $x = 9$¡Correcto! $x(x - 9) = 0$ da ambas soluciones.
• B) Solo $x = 9$Incorrecto. Perdés la solución $x = 0$ al dividir entre $x$ sin cuidado.
• C) $x = -9$ y $x = 9$Incorrecto. Con $x = -9$ queda $81 + 81 \ne 0$.
• D) No tiene solución.Incorrecto. La factorización $x(x-9)$ muestra dos soluciones reales.

Respuesta correcta: A) $x = 2$

• A) $x = 2$¡Correcto! $x = \frac{-2 \pm 6}{2}$ da $2$ y $-4$; la mayor es 2.
• B) $x = 4$Incorrecto. Con $x = 4$ queda $16 + 8 - 8 \ne 0$; revisá el signo en la fórmula.
• C) $x = -2$Incorrecto. Es un valor intermedio del cálculo, no una raíz.
• D) $x = 8$Incorrecto. Confunde el término independiente con la solución.

Respuesta correcta: B) $x > 8$

• A) $x > 2$Incorrecto. Restaste en lugar de sumar el 3 al trasponer.
• B) $x > 8$¡Correcto! Sumando 3 a ambos miembros: $x > 8$.
• C) $x < 8$Incorrecto. No hay que invertir la desigualdad; solo se invierte al multiplicar o dividir por negativos.
• D) $x > -8$Incorrecto. Trasladaste el 3 con el signo equivocado.

Respuesta correcta: D) $x \le 3$

• A) $x \ge 3$Incorrecto. Trasponer el 4 no cambia el sentido de la desigualdad.
• B) $x \le 7$Incorrecto. Dividiste $10 + 4$ entre 2; primero se resta el 4.
• C) $x < 3$Incorrecto. La desigualdad es no estricta; el 3 pertenece a la solución.
• D) $x \le 3$¡Correcto! $2x \le 6$ y dividiendo entre 2 (positivo): $x \le 3$.

Respuesta correcta: D) No tiene soluciones reales porque $\Delta = -3 < 0$.

• A) Tiene dos soluciones reales distintas.Incorrecto. El discriminante es $1 - 4 = -3 < 0$.
• B) Tiene una solución real doble.Incorrecto. Eso requeriría $\Delta = 0$.
• C) Tiene soluciones $x = 1$ y $x = -1$.Incorrecto. Ninguno de esos valores anula la expresión.
• D) No tiene soluciones reales porque $\Delta = -3 < 0$.¡Correcto! Con discriminante negativo no hay raíces en los reales.

Respuesta correcta: A) $(x + 3)^2 = 4$

• A) $(x + 3)^2 = 4$¡Correcto! $x^2 + 6x + 9 = 4$, es decir $(x+3)^2 = 4$, que da $x = -1$ o $x = -5$.
• B) $(x + 6)^2 = 31$Incorrecto. El término que completa el cuadrado es $(6/2)^2 = 9$, no $6^2$.
• C) $(x - 3)^2 = 14$Incorrecto. El binomio debe llevar el signo del término lineal: $+3$.
• D) $(x + 3)^2 = 14$Incorrecto. Sumaste 9 sin restar el 5: $(x+3)^2 = -5 + 9 = 4$.

Respuesta correcta: B) $(2, -1)$

• A) $(-2, 15)$Incorrecto. La abscisa del vértice es $-\frac{b}{2a}$, positiva aquí.
• B) $(2, -1)$¡Correcto! $x_v = \frac{4}{2} = 2$ e $y_v = 4 - 8 + 3 = -1$.
• C) $(2, 3)$Incorrecto. La ordenada no es el término independiente; hay que evaluar en $x = 2$.
• D) $(4, 3)$Incorrecto. Usaste $-b$ sin dividir entre $2a$.

Respuesta correcta: B) $t = 4$ segundos

• A) $t = 2$ segundosIncorrecto. A los 2 s está en la altura máxima, no en el suelo.
• B) $t = 4$ segundos¡Correcto! $-5t(t - 4) = 0$ da $t = 0$ y $t = 4$; el regreso es en $t = 4$.
• C) $t = 5$ segundosIncorrecto. Provienede igualar el coeficiente $-5$ a cero en lugar de resolver.
• D) $t = 20$ segundosIncorrecto. Confunde el coeficiente de $t$ con el tiempo de vuelo.

Respuesta correcta: A) $-2 < x < 2$

• A) $-2 < x < 2$¡Correcto! La parábola abre hacia arriba y es negativa entre sus raíces $-2$ y $2$.
• B) $x < -2$ o $x > 2$Incorrecto. Esa es la solución de $x^2 - 4 > 0$; la parábola es negativa entre las raíces.
• C) $x < 2$Incorrecto. Falta la cota inferior; $x = -5$ no verifica la inecuación.
• D) Todo número real.Incorrecto. Para $|x| > 2$ la expresión es positiva.

Respuesta correcta: D) $c = 9$

• A) $c = 6$Incorrecto. Con $c = 6$, $\Delta = 36 - 24 = 12 > 0$: dos soluciones.
• B) $c = 0$Incorrecto. Con $c = 0$, $\Delta = 36$: dos soluciones distintas.
• C) $c = 36$Incorrecto. Con $c = 36$ el discriminante es negativo: sin soluciones reales.
• D) $c = 9$¡Correcto! $\Delta = 36 - 4c = 0$ exige $c = 9$, raíz doble en $x = -3$.

Respuesta correcta: B) Es falsa: el número de soluciones reales depende del signo del discriminante.

• A) Es verdadera, porque la fórmula general siempre da dos valores.Incorrecto. La fórmula involucra $\sqrt{\Delta}$, que no existe en reales si $\Delta < 0$.
• B) Es falsa: el número de soluciones reales depende del signo del discriminante.¡Correcto! Puede haber dos, una o ninguna según $\Delta$.
• C) Es verdadera solo si $a > 0$.Incorrecto. El signo de $a$ no decide la cantidad de raíces reales.
• D) Es falsa porque toda cuadrática tiene exactamente una solución.Incorrecto. Cambia una generalización falsa por otra; hay casos con dos raíces.

Respuesta correcta: A) Su suma es $7$ y su producto $10$.

• A) Su suma es $7$ y su producto $10$.¡Correcto! Por las relaciones de Cardano: suma $-b/a = 7$, producto $c/a = 10$.
• B) Su suma es $-7$ y su producto $10$.Incorrecto. La suma es $-\frac{b}{a} = 7$, positiva.
• C) Su suma es $10$ y su producto $7$.Incorrecto. Invertiste las relaciones de Cardano.
• D) Ambas raíces son negativas.Incorrecto. Suma positiva y producto positivo implican raíces positivas.

Respuesta correcta: A) 4 m por 6 m

• A) 4 m por 6 m¡Correcto! $4 + 6 = 10$ (semiperímetro) y $4 \cdot 6 = 24$: resuelve $x(10 - x) = 24$.
• B) 3 m por 8 mIncorrecto. El área da 24, pero el perímetro sería 22 m, no 20.
• C) 2 m por 12 mIncorrecto. El perímetro sería 28 m; además el área coincide por casualidad.
• D) 5 m por 5 mIncorrecto. El perímetro da 20, pero el área sería 25, no 24.

Respuesta correcta: A) Entre 1 y 9 toneladas, sin incluir los extremos.

• A) Entre 1 y 9 toneladas, sin incluir los extremos.¡Correcto! Las raíces son 1 y 9; la parábola abre hacia abajo y es positiva entre ellas.
• B) Para cualquier cantidad producida.Incorrecto. Fuera de las raíces la parábola es negativa: hay pérdidas.
• C) Solo para $x = 5$ toneladas.Incorrecto. Ese es el máximo, pero la ganancia es positiva en todo un intervalo.
• D) Para producciones mayores a 9 toneladas.Incorrecto. Más allá de 9 la ganancia es negativa.