Tema W05

Respuesta correcta: C) Cada elemento del dominio debe tener exactamente una imagen.

• A) Cada elemento del codominio debe tener una preimagen.Incorrecto. Eso sería sobreyectividad, no se exige para ser función.
• B) Elementos distintos del dominio deben tener imágenes distintas.Incorrecto. Eso es inyectividad; una función puede repetir imágenes.
• C) Cada elemento del dominio debe tener exactamente una imagen.¡Correcto! La unicidad de la imagen define a la función.
• D) El dominio y el codominio deben tener la misma cantidad de elementos.Incorrecto. Los conjuntos pueden tener cualquier cardinal.

Respuesta correcta: C) $3$

• A) $-5$Incorrecto. Ese es el término independiente u ordenada al origen.
• B) $x$Incorrecto. $x$ es la variable, no un coeficiente.
• C) $3$¡Correcto! En $f(x) = mx + b$, la pendiente es $m = 3$.
• D) $-2$Incorrecto. Provienede sumar los coeficientes; la pendiente es solo el factor de $x$.

Respuesta correcta: B) $\$U\,260$

• A) $\$U\,200$Incorrecto. Olvidaste sumar la bajada de bandera de 60 pesos.
• B) $\$U\,260$¡Correcto! $40(5) + 60 = 260$ pesos.
• C) $\$U\,100$Incorrecto. Sumaste los coeficientes sin evaluar en $x = 5$.
• D) $\$U\,300$Incorrecto. Multiplicaste 60 por 5; el costo variable es $40x$.

Respuesta correcta: B) Todos los números reales.

• A) Solo los números positivos.Incorrecto. Los polinomios admiten cualquier real, incluidos negativos.
• B) Todos los números reales.¡Correcto! Toda función polinómica tiene dominio $\mathbb{R}$.
• C) Todos los reales excepto $x = 1$ y $x = 2$.Incorrecto. Esas son las raíces, no restricciones del dominio.
• D) Los números enteros.Incorrecto. Nada impide evaluar el polinomio en fracciones o irracionales.

Respuesta correcta: B) $15$

• A) $9$Incorrecto. Calculaste $3^2$ sin los coeficientes.
• B) $15$¡Correcto! $2(9) - 3 = 18 - 3 = 15$.
• C) $21$Incorrecto. Sumaste en lugar de restar el término lineal.
• D) $39$Incorrecto. Elevaste $2x$ al cuadrado: $(2x)^2$ no es lo mismo que $2x^2$.

Respuesta correcta: C) $x = 3$

• A) $x = -3$Incorrecto. Revisá el signo al despejar: $4x = 12$.
• B) $x = 12$Incorrecto. Falta dividir entre el coeficiente 4.
• C) $x = 3$¡Correcto! $4x - 12 = 0$ implica $x = 3$.
• D) $x = 0$Incorrecto. La raíz es donde la función vale 0, no donde $x$ vale 0.

Respuesta correcta: C) $2$

• A) $\frac{1}{2}$Incorrecto. Invertiste el cociente: es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, no $\frac{\Delta x}{\Delta y}$.
• B) $4$Incorrecto. Restaste solo las abscisas o solo las ordenadas.
• C) $2$¡Correcto! $m = \frac{10 - 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$.
• D) $8$Incorrecto. Ese es solo $\Delta y$; falta dividir por $\Delta x$.

Respuesta correcta: D) $y = -2x + 7$

• A) $y = -2x + 1$Incorrecto. El 1 es la ordenada del punto, no la ordenada al origen.
• B) $y = -2x - 5$Incorrecto. Revisá el signo al despejar $b$: $1 + 6 = 7$.
• C) $y = 2x - 5$Incorrecto. La pendiente pedida es negativa.
• D) $y = -2x + 7$¡Correcto! $1 = -2(3) + b$ da $b = 7$.

Respuesta correcta: C) $x = 2$

• A) $x = 3$Incorrecto. Con $x = 3$, $f(3) = 9$ pero $g(3) = 6$; no coinciden.
• B) $x = 4$Incorrecto. Sumaste los términos independientes sin agrupar los de $x$.
• C) $x = 2$¡Correcto! $2x + 3 = -x + 9$ da $3x = 6$, $x = 2$ (y $y = 7$).
• D) $x = 6$Incorrecto. Ese es el valor de $3x$, falta dividir.

Respuesta correcta: B) $x = 1$ y $x = 5$

• A) $x = -1$ y $x = -5$Incorrecto. Esas raíces corresponden a $x^2 + 6x + 5$.
• B) $x = 1$ y $x = 5$¡Correcto! $(x-1)(x-5) = 0$: suma 6 y producto 5.
• C) $x = 2$ y $x = 3$Incorrecto. Su producto es 6, no 5.
• D) $x = 6$ y $x = -1$Incorrecto. Su suma es 5, no 6.

Respuesta correcta: D) Son paralelas porque tienen igual pendiente y distinta ordenada.

• A) Se cortan en el punto $(0, 1)$.Incorrecto. Tienen la misma pendiente: nunca se cortan.
• B) Son la misma recta.Incorrecto. Las ordenadas al origen difieren.
• C) Son perpendiculares.Incorrecto. La perpendicular tendría pendiente $-\frac{1}{3}$.
• D) Son paralelas porque tienen igual pendiente y distinta ordenada.¡Correcto! $m = 3$ en ambas y $b$ distinto: paralelas.

Respuesta correcta: B) $x < 4$

• A) $x > 4$Incorrecto. Olvidaste invertir la desigualdad al dividir por un negativo.
• B) $x < 4$¡Correcto! $-2x + 8 > 0$ implica $x < 4$ (se invierte al dividir por $-2$).
• C) $x > -4$Incorrecto. Revisá los signos: la raíz es $x = 4$, no $-4$.
• D) Todo número real.Incorrecto. La recta decrece y se hace negativa a partir de $x = 4$.

Respuesta correcta: C) $x = 3$, con valor máximo $4$

• A) $x = -3$, con valor máximo $-32$Incorrecto. La abscisa del vértice es $-\frac{b}{2a} = 3$, positiva.
• B) $x = 6$, con valor máximo $-5$Incorrecto. Usaste el coeficiente $b$ directamente como abscisa del vértice.
• C) $x = 3$, con valor máximo $4$¡Correcto! $x_v = 3$ y $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.
• D) No tiene máximo porque es cuadrática.Incorrecto. Al abrir hacia abajo ($a < 0$), sí tiene máximo en el vértice.

Respuesta correcta: B) $8$

• A) $14$Incorrecto. Calculaste $g(f(6))$: el orden de composición importa.
• B) $8$¡Correcto! $g(6) = 2$ y $f(2) = 3(2) + 2 = 8$.
• C) $2$Incorrecto. Ese es solo el valor intermedio $g(6)$.
• D) $22$Incorrecto. Componés en el orden equivocado o sumaste los resultados.

Respuesta correcta: A) Traslación 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba.

• A) Traslación 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba.¡Correcto! $x - 3$ mueve a la derecha 3 y $+2$ sube la gráfica.
• B) Traslación 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo.Incorrecto. Los signos dentro del paréntesis trasladan en dirección opuesta a la intuición.
• C) Traslación 3 unidades a la derecha y 2 hacia abajo.Incorrecto. El término externo $+2$ desplaza hacia arriba.
• D) Traslación 2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.Incorrecto. Invertiste los desplazamientos horizontal y vertical.

Respuesta correcta: C) $f^{-1}(x) = \frac{x - 6}{2}$

• A) $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 6$Incorrecto. El 6 también queda dividido: sería $\frac{x}{2} - 3$.
• B) $f^{-1}(x) = -2x - 6$Incorrecto. Cambiar el signo no invierte la función.
• C) $f^{-1}(x) = \frac{x - 6}{2}$¡Correcto! Despejando $x$ de $y = 2x + 6$: $x = \frac{y - 6}{2}$ e intercambiando variables.
• D) $f^{-1}(x) = \frac{1}{2x + 6}$Incorrecto. La inversa no es el recíproco de la función.

Respuesta correcta: B) Lineal, $f(x) = 2x + 3$, porque la diferencia entre valores consecutivos es constante.

• A) Cuadrático, porque los valores crecen.Incorrecto. Crecer no implica cuadrático; la diferencia constante delata lo lineal.
• B) Lineal, $f(x) = 2x + 3$, porque la diferencia entre valores consecutivos es constante.¡Correcto! La tasa de cambio es 2 constante y $f(1) = 5$ fija el término 3.
• C) Lineal, $f(x) = 5x$, porque el primer valor es 5.Incorrecto. $f(2) = 10 \ne 7$; no ajusta los demás puntos.
• D) Constante, porque todos los valores son positivos.Incorrecto. Los valores cambian: no es una función constante.

Respuesta correcta: A) La prueba de la recta vertical: toda vertical debe cortar la gráfica a lo sumo una vez.

• A) La prueba de la recta vertical: toda vertical debe cortar la gráfica a lo sumo una vez.¡Correcto! Garantiza que cada $x$ tenga una única imagen.
• B) La prueba de la recta horizontal: si corta una vez, es función.Incorrecto. Esa prueba sirve para detectar inyectividad, no la definición de función.
• C) La gráfica debe pasar por el origen.Incorrecto. Muchas funciones no pasan por $(0,0)$.
• D) La gráfica debe ser una línea continua sin saltos.Incorrecto. Hay funciones discontinuas perfectamente válidas.

Respuesta correcta: D) $q = 30$, el vértice de la parábola de ingresos.

• A) $q = 60$, porque allí el precio llega a cero.Incorrecto. Con precio cero el ingreso también es cero, no máximo.
• B) $q = 10$, porque se vende menos pero más caro.Incorrecto. En $q = 10$ el ingreso es $1000$, menor que el máximo $1800$.
• C) $q = 120$, porque más cantidad siempre da más ingreso.Incorrecto. Con $q = 120$ el precio sería negativo y el modelo pierde sentido.
• D) $q = 30$, el vértice de la parábola de ingresos.¡Correcto! $I(q) = -2q^2 + 120q$ tiene vértice en $q = \frac{-120}{-4} = 30$.

Respuesta correcta: C) $55$ metros

• A) $10$ metrosIncorrecto. Esa es la altura inicial $h(0)$, no la máxima.
• B) $30$ metrosIncorrecto. Ese es el coeficiente de $t$, no una altura.
• C) $55$ metros¡Correcto! $t_v = \frac{-30}{-10} = 3$ y $h(3) = -45 + 90 + 10 = 55$ metros.
• D) $45$ metrosIncorrecto. Provienede evaluar parcialmente; sumá todos los términos en $t = 3$.