Tema W06

Respuesta correcta: D) $f(x) = a \cdot b^x$, con $b > 0$ y $b \ne 1$

• A) $f(x) = ax + b$Incorrecto. Esa es la función lineal; la variable no está en el exponente.
• B) $f(x) = x^a$Incorrecto. Esa es una función potencia: la variable está en la base.
• C) $f(x) = \log_a x$Incorrecto. Esa es la función logarítmica, inversa de la exponencial.
• D) $f(x) = a \cdot b^x$, con $b > 0$ y $b \ne 1$¡Correcto! La variable está en el exponente y la base debe ser positiva y distinta de 1.

Respuesta correcta: C) Que $2^3 = 8$

• A) Que $2 \times 3 = 8$Incorrecto. Eso sería multiplicación, no la definición del logaritmo.
• B) Que $3^2 = 8$Incorrecto. $3^2 = 9$; la base del logaritmo es 2.
• C) Que $2^3 = 8$¡Correcto! El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.
• D) Que $8^2 = 3$Incorrecto. Invierte los roles de base y argumento.

Respuesta correcta: A) $\$U\,8\,000$

• A) $\$U\,8\,000$¡Correcto! $1000 \cdot 2^3 = 1000 \cdot 8 = 8000$.
• B) $\$U\,6\,000$Incorrecto. Multiplicaste $1000 \times 2 \times 3$; el tiempo es exponente, no factor.
• C) $\$U\,3\,000$Incorrecto. Eso sería crecimiento lineal de mil por año.
• D) $\$U\,2\,000$Incorrecto. Ese es el capital al año 1 solamente.

Respuesta correcta: D) $3$

• A) $2$Incorrecto. $10^2 = 100$, no 1000.
• B) $10$Incorrecto. Confunde la base con el exponente.
• C) $100$Incorrecto. El logaritmo es el exponente, no una potencia de la base.
• D) $3$¡Correcto! $10^3 = 1000$, así que el logaritmo vale 3.

Respuesta correcta: C) $20$ gramos

• A) $40$ gramosIncorrecto. Ese es el valor a la primera hora; falta otra reducción a la mitad.
• B) $10$ gramosIncorrecto. Ese sería el valor a las 3 horas.
• C) $20$ gramos¡Correcto! $80 \cdot (1/2)^2 = 80 \cdot 1/4 = 20$ gramos.
• D) $160$ gramosIncorrecto. La base menor que 1 hace decrecer, no crecer.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{8}$

• A) $-8$Incorrecto. El exponente negativo no cambia el signo del resultado; indica recíproco.
• B) $-6$Incorrecto. Multiplicaste la base por el exponente con signo cambiado.
• C) $\frac{1}{8}$¡Correcto! $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
• D) $\frac{1}{6}$Incorrecto. Usaste $2 \times 3$ en el denominador en lugar de $2^3$.

Respuesta correcta: D) $1$

• A) $0.210$Incorrecto. Multiplicaste los logaritmos; la propiedad correcta es la suma.
• B) $0.398$Incorrecto. Restaste los valores; el logaritmo del producto es la suma.
• C) $2$Incorrecto. Duplicaste el valor; $\log_{10} 10 = 1$ por definición.
• D) $1$¡Correcto! $\log 2 + \log 5 = 0.301 + 0.699 = 1 = \log 10$.

Respuesta correcta: C) $x = 4$

• A) $x = 3$Incorrecto. $3^3 = 27$, no 81.
• B) $x = 27$Incorrecto. Dividiste $81/3$; hay que expresar 81 como potencia de 3.
• C) $x = 4$¡Correcto! $81 = 3^4$, así $x = 4$.
• D) $x = 9$Incorrecto. Provienede $\sqrt{81}$; no es la operación adecuada.

Respuesta correcta: B) $x = 5$

• A) $x = 16$Incorrecto. Dividiste 32 entre 2; el exponente no se obtiene dividiendo.
• B) $x = 5$¡Correcto! $32 = 2^5$, entonces $x = 5$.
• C) $x = 6$Incorrecto. $2^6 = 64$, el doble de 32.
• D) $x = 4$Incorrecto. $2^4 = 16$, la mitad de 32.

Respuesta correcta: A) $2$

• A) $2$¡Correcto! $\log_3 27 = 3$ y $\log_3 3 = 1$; la resta da 2.
• B) $9$Incorrecto. Dividiste los argumentos de forma incorrecta y luego calculaste mal.
• C) $3$Incorrecto. Ese es solo el primer logaritmo; falta restar el segundo.
• D) $1$Incorrecto. Aplicaste $\log(27/3) = \log 9$ pero luego evaluaste mal: $\log_3 9 = 2$.

Respuesta correcta: D) B termina superando a A porque el crecimiento exponencial es multiplicativo.

• A) A siempre supera a B porque 500 es mayor que la tasa de B.Incorrecto. El crecimiento exponencial termina superando cualquier crecimiento lineal.
• B) Ambas crecen al mismo ritmo porque parten de 1000.Incorrecto. El valor inicial no determina la tasa de crecimiento.
• C) B nunca alcanza a A porque $1.5 < 500$.Incorrecto. Comparar la base con el incremento lineal es un error de escala.
• D) B termina superando a A porque el crecimiento exponencial es multiplicativo.¡Correcto! Multiplicar por 1.5 cada período supera a sumar 500 en el largo plazo.

Respuesta correcta: B) Los reales positivos, $x > 0$.

• A) Todos los números reales.Incorrecto. El logaritmo de números no positivos no está definido en los reales.
• B) Los reales positivos, $x > 0$.¡Correcto! Solo los positivos son potencias reales de 2.
• C) Los reales no negativos, $x \ge 0$.Incorrecto. El 0 tampoco está permitido: $2^y$ nunca vale 0.
• D) Los enteros positivos.Incorrecto. El logaritmo también acepta fracciones e irracionales positivos.

Respuesta correcta: C) Asíntota $y = 0$ y pasa por $(0, 1)$.

• A) Asíntota $x = 0$ y pasa por $(0, 0)$.Incorrecto. La exponencial no tiene asíntota vertical ni pasa por el origen.
• B) Asíntota $y = 1$ y pasa por $(1, 0)$.Incorrecto. La asíntota es el eje $x$ y en $x = 1$ vale 2.
• C) Asíntota $y = 0$ y pasa por $(0, 1)$.¡Correcto! $2^x \to 0$ cuando $x \to -\infty$ y $2^0 = 1$.
• D) No tiene asíntotas y pasa por $(0, 2)$.Incorrecto. $2^0 = 1$, no 2, y sí tiene asíntota horizontal.

Respuesta correcta: C) Unos 7.3 años

• A) Unos 5 añosIncorrecto. $1.1^5 \approx 1.61$, todavía lejos de 2.
• B) Unos 10 añosIncorrecto. Provienede dividir 100 entre 10 (regla lineal), no del cálculo logarítmico.
• C) Unos 7.3 años¡Correcto! $t = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx \frac{0.301}{0.0414} \approx 7.3$.
• D) Unos 20 añosIncorrecto. Duplica la estimación correcta; con 20 años el capital se cuadruplicaría.

Respuesta correcta: D) $x = \frac{3}{2}$

• A) $x = 2$Incorrecto. $4^2 = 16 \ne 8$; convertí ambas bases a 2.
• B) $x = \frac{1}{2}$Incorrecto. $4^{1/2} = 2$, no 8.
• C) $x = 3$Incorrecto. Igualaste $x$ con el exponente de 8 sin ajustar la base.
• D) $x = \frac{3}{2}$¡Correcto! $2^{2x} = 2^3$ implica $2x = 3$, $x = 1.5$.

Respuesta correcta: A) $6$

• A) $6$¡Correcto! $\log_5 25^3 = 3 \cdot \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$.
• B) $3$Incorrecto. Ese es solo el exponente externo; falta el logaritmo de 25.
• C) $5$Incorrecto. Confunde la base con el resultado.
• D) $8$Incorrecto. Sumaste $5 + 3$; la propiedad multiplica el logaritmo por el exponente.

Respuesta correcta: C) Falsa: crece solo si la base es mayor que 1; decrece si la base está entre 0 y 1.

• A) Verdadera, porque el exponente aumenta siempre.Incorrecto. Con base entre 0 y 1 la función decrece aunque el exponente crezca.
• B) Falsa, porque la exponencial es siempre decreciente.Incorrecto. Las bases mayores que 1 producen crecimiento, el caso más común.
• C) Falsa: crece solo si la base es mayor que 1; decrece si la base está entre 0 y 1.¡Correcto! El comportamiento depende de la base: $b > 1$ crece, $0 < b < 1$ decrece.
• D) Verdadera, porque toda exponencial pasa por $(0, 1)$ y sube.Incorrecto. Pasar por $(0,1)$ no implica crecimiento: $(1/2)^x$ también pasa y decrece.

Respuesta correcta: A) Proviene de la propiedad de las potencias $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ aplicada a la definición de logaritmo.

• A) Proviene de la propiedad de las potencias $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ aplicada a la definición de logaritmo.¡Correcto! El cociente de potencias de igual base resta exponentes, y el logaritmo es el exponente.
• B) Es una convención sin relación con las potencias.Incorrecto. Toda propiedad logarítmica se deriva de una propiedad de potencias.
• C) Se cumple porque el logaritmo del cociente es el cociente de logaritmos.Incorrecto. Eso sería $\frac{\log M}{\log N}$, que no es lo mismo y es falso en general.
• D) Se demuestra sumando los argumentos $M$ y $N$.Incorrecto. La suma de argumentos no corresponde a ninguna propiedad.

Respuesta correcta: D) 1000 veces

• A) 30 vecesIncorrecto. Multiplicaste 10 por 3; la relación es exponencial, no lineal.
• B) 300 vecesIncorrecto. Agregaste un cero de más; la potencia correcta es $10^3$.
• C) 3 vecesIncorrecto. Esa es solo la diferencia de magnitudes.
• D) 1000 veces¡Correcto! La diferencia es 3 puntos: $10^3 = 1000$ veces más amplitud.

Respuesta correcta: D) El compuesto gana: aunque la tasa es menor, capitaliza intereses y alcanza unos $\$U\,219\,000$ frente a $\$U\,200\,000$.

• A) El simple gana porque 5% supera al 4%.Incorrecto. El simple da $100\,000(1 + 0.05 \cdot 20) = 200\,000$, pero el compuesto da $100\,000(1.04)^{20} \approx 219\,112$.
• B) Empatan porque ambos aplican tasas sobre el mismo capital.Incorrecto. Las estructuras de cálculo son distintas y los resultados difieren.
• C) El simple gana porque el compuesto castiga los plazos largos.Incorrecto. Es al revés: el compuesto beneficia especialmente los plazos largos.
• D) El compuesto gana: aunque la tasa es menor, capitaliza intereses y alcanza unos $\$U\,219\,000$ frente a $\$U\,200\,000$.¡Correcto! $(1.04)^{20} \approx 2.19$ supera al factor simple $2.0$.