Tema W07

Respuesta correcta: C) El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

• A) El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.Incorrecto. Esa es la definición del coseno.
• B) El cociente entre el cateto opuesto y el adyacente.Incorrecto. Esa es la definición de la tangente.
• C) El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.¡Correcto! $\sin \alpha = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$.
• D) El producto de los dos catetos.Incorrecto. Las razones trigonométricas son cocientes, no productos.

Respuesta correcta: D) $\frac{1}{2}$

• A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. Ese es el valor de $\sin 60°$.
• B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. Ese es el valor de $\sin 45°$.
• C) $1$Incorrecto. El seno vale 1 recién a los 90°.
• D) $\frac{1}{2}$¡Correcto! El seno de 30° es exactamente un medio.

Respuesta correcta: A) $\pi$ radianes

• A) $\pi$ radianes¡Correcto! $180° = \pi$ rad, la conversión fundamental.
• B) $\frac{\pi}{2}$ radianesIncorrecto. Eso equivaldría a 90°.
• C) $2\pi$ radianesIncorrecto. Eso equivale a 360°, la vuelta completa.
• D) $\frac{\pi}{4}$ radianesIncorrecto. Eso equivale a 45°.

Respuesta correcta: D) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

• A) $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1$Incorrecto. El signo correcto entre los cuadrados es la suma.
• B) $\sin \alpha + \cos \alpha = 1$Incorrecto. Sin los cuadrados la identidad no vale; probá con $\alpha = 45°$.
• C) $\tan^2 \alpha + 1 = \sin^2 \alpha$Incorrecto. La identidad correcta es $\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
• D) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$¡Correcto! Es el teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario.

Respuesta correcta: B) Segundo cuadrante

• A) Primer cuadranteIncorrecto. En el primer cuadrante ambas razones son positivas.
• B) Segundo cuadrante¡Correcto! Entre 90° y 180°, $y > 0$ (seno positivo) y $x < 0$ (coseno negativo).
• C) Tercer cuadranteIncorrecto. En el tercer cuadrante ambas son negativas.
• D) Cuarto cuadranteIncorrecto. En el cuarto, el seno es negativo y el coseno positivo.

Respuesta correcta: D) $20$ m

• A) $10$ mIncorrecto. Con 45° la tangente vale 1: altura y sombra son iguales.
• B) $20\sqrt{2}$ mIncorrecto. Ese sería el largo de la línea visual (hipotenusa), no la altura.
• C) $40$ mIncorrecto. Duplicaste la sombra; la tangente de 45° no es 2.
• D) $20$ m¡Correcto! $\tan 45° = 1 = \frac{h}{20}$, así $h = 20$ m.

Respuesta correcta: A) $5\sqrt{3} \approx 8.66$ m

• A) $5\sqrt{3} \approx 8.66$ m¡Correcto! $\sin 60° = \frac{h}{10}$ da $h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.
• B) $5$ mIncorrecto. Usaste el coseno (adyacente) en lugar del seno (opuesto).
• C) $10\sqrt{3}$ mIncorrecto. Multiplicaste de más; la altura es $10 \cdot \sin 60°$.
• D) $10$ mIncorrecto. La escalera solo mediría 10 m de altura si estuviera vertical.

Respuesta correcta: B) $9$

• A) $5$Incorrecto. Confundiste el denominador de la razón con la longitud.
• B) $9$¡Correcto! $\text{adyacente} = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$.
• C) $12$Incorrecto. Ese sería el cateto opuesto por Pitágoras, no el adyacente.
• D) $25$Incorrecto. Dividiste en lugar de multiplicar por el coseno.

Respuesta correcta: B) $\frac{4}{3}$

• A) $\frac{12}{25}$Incorrecto. Multiplicaste seno por coseno; la tangente es el cociente.
• B) $\frac{4}{3}$¡Correcto! $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
• C) $\frac{3}{4}$Incorrecto. Invertiste el cociente.
• D) $\frac{7}{5}$Incorrecto. Sumaste numerador y denominador por separado.

Respuesta correcta: D) $\frac{\pi}{3}$

• A) $\frac{\pi}{6}$Incorrecto. Eso son 30°, la mitad de 60°.
• B) $\frac{2\pi}{3}$Incorrecto. Eso son 120°.
• C) $\frac{\pi}{2}$Incorrecto. Eso son 90°.
• D) $\frac{\pi}{3}$¡Correcto! $60° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{3}$.

Respuesta correcta: D) Primero y tercero.

• A) Primero y segundo.Incorrecto. En el segundo, seno positivo y coseno negativo dan tangente negativa.
• B) Primero y cuarto.Incorrecto. En el cuarto, el seno negativo hace negativa la tangente.
• C) Segundo y cuarto.Incorrecto. Ahí los signos difieren y la tangente es negativa.
• D) Primero y tercero.¡Correcto! Donde seno y coseno tienen el mismo signo, su cociente es positivo.

Respuesta correcta: A) $2\pi$

• A) $2\pi$¡Correcto! El seno se repite cada vuelta completa del círculo unitario.
• B) $\pi$Incorrecto. En $\pi$ radianes el seno solo completa media oscilación.
• C) $\frac{\pi}{2}$Incorrecto. Ese intervalo solo cubre un cuarto del ciclo.
• D) $4\pi$Incorrecto. Duplica el período real; la función ya se repitió en $2\pi$.

Respuesta correcta: C) $\sin \alpha = \cos \beta$

• A) $\sin \alpha = \sin \beta$Incorrecto. Solo valdría si los ángulos fueran iguales.
• B) $\tan \alpha = \tan \beta$Incorrecto. Las tangentes de complementarios son recíprocas, no iguales.
• C) $\sin \alpha = \cos \beta$¡Correcto! El seno de un ángulo es el coseno de su complemento.
• D) $\cos \alpha = -\cos \beta$Incorrecto. Los ángulos agudos tienen cosenos positivos.

Respuesta correcta: C) $13$

• A) $17$Incorrecto. Sumaste los catetos; la hipotenusa sale del teorema de Pitágoras.
• B) $\sqrt{119}$Incorrecto. Restaste los cuadrados; la hipotenusa usa la suma.
• C) $13$¡Correcto! $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
• D) $7$Incorrecto. Esa es la diferencia de los catetos, sin elevar al cuadrado.

Respuesta correcta: B) $45°$

• A) $30°$Incorrecto. $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$.
• B) $45°$¡Correcto! En 45° los catetos son iguales y su cociente es 1.
• C) $60°$Incorrecto. $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1.732$.
• D) $90°$Incorrecto. La tangente de 90° no está definida y 90° no es agudo.

Respuesta correcta: B) Porque el rango del coseno es $[-1, 1]$ y 2 está fuera de él.

• A) Porque el coseno solo toma valores enteros.Incorrecto. El coseno toma todos los valores del intervalo $[-1, 1]$, no solo enteros.
• B) Porque el rango del coseno es $[-1, 1]$ y 2 está fuera de él.¡Correcto! Ningún ángulo real produce un coseno mayor que 1.
• C) Porque el coseno es siempre negativo.Incorrecto. El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante.
• D) Porque 2 no es un ángulo válido.Incorrecto. El 2 es el valor buscado de la función, no el ángulo.

Respuesta correcta: C) Falsa: 150° está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo ($\sin 150° = \frac{1}{2}$).

• A) Verdadera, porque 150° es un ángulo obtuso.Incorrecto. La obtusidad no decide el signo: el segundo cuadrante tiene seno positivo.
• B) Verdadera, porque todo ángulo mayor que 90° tiene seno negativo.Incorrecto. Entre 90° y 180° el seno sigue siendo positivo.
• C) Falsa: 150° está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo ($\sin 150° = \frac{1}{2}$).¡Correcto! $\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$.
• D) Falsa, porque $\sin 150° = -\frac{1}{2}$ y el valor correcto es $\frac{\sqrt{3}}{2}$.Incorrecto. La conclusión (falsa) es acertada, pero los valores citados son erróneos.

Respuesta correcta: A) Sí: la altura es el cateto opuesto y la distancia el adyacente, así que $h = 100 \tan 30°$.

• A) Sí: la altura es el cateto opuesto y la distancia el adyacente, así que $h = 100 \tan 30°$.¡Correcto! $\tan = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ despeja $h = 100 \cdot \tan 30° \approx 57.7$ m.
• B) No: debería usar el seno, porque la altura es el opuesto.Incorrecto. El seno involucra la hipotenusa, que no es el dato disponible.
• C) No: la altura es $100 \cdot \sin 30° = 50$ m.Incorrecto. Ese cálculo usa la razón equivocada para los datos dados.
• D) No: falta conocer la hipotenusa para cualquier cálculo.Incorrecto. Con el cateto adyacente y el ángulo basta la tangente.

Respuesta correcta: C) $5$ km y $\arctan\frac{4}{3} \approx 53.1°$

• A) $7$ km y $45°$Incorrecto. Sumaste los trayectos; la distancia directa usa Pitágoras, y el ángulo no es 45° porque los catetos difieren.
• B) $5$ km y $\arctan\frac{3}{4} \approx 36.9°$Incorrecto. La distancia es correcta, pero el ángulo pedido (desde el este) usa opuesto 4 sobre adyacente 3.
• C) $5$ km y $\arctan\frac{4}{3} \approx 53.1°$¡Correcto! Pitágoras da 5 km y la tangente del rumbo es $\frac{4}{3}$.
• D) $12$ km y $30°$Incorrecto. Multiplicaste los trayectos; ninguna de las dos magnitudes es correcta.

Respuesta correcta: B) Es falsa: con $\alpha = 60°$, el miembro izquierdo es $\sin 90° = 1$ y el derecho $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \approx 1.366$.

• A) Es válida porque el seno es una función lineal.Incorrecto. El seno no es lineal; probá con $\alpha = 0$: queda $0.5 = 0.5$, pero con $\alpha = 60°$ falla.
• B) Es falsa: con $\alpha = 60°$, el miembro izquierdo es $\sin 90° = 1$ y el derecho $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \approx 1.366$.¡Correcto! El contraejemplo con $\alpha = 60°$ la refuta; la fórmula correcta es $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• C) Es válida solo para ángulos agudos.Incorrecto. No vale para ningún caso general salvo ángulos particulares como $\alpha = 0$.
• D) Es falsa porque $\sin 30°$ no existe en radianes.Incorrecto. El valor existe; el problema es la supuesta linealidad.