Tema W08

Respuesta correcta: B) La abscisa: la posición horizontal respecto al origen.

• A) La ordenada: la posición vertical respecto al origen.Incorrecto. La ordenada es la segunda coordenada, $5$.
• B) La abscisa: la posición horizontal respecto al origen.¡Correcto! La primera coordenada es la abscisa (eje $x$).
• C) La distancia del punto al origen.Incorrecto. La distancia es $\sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
• D) La pendiente de la recta que une el punto con el origen.Incorrecto. La pendiente sería $\frac{5}{-3}$, no una coordenada.

Respuesta correcta: D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• A) $d = (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$Incorrecto. Sumar diferencias no mide la distancia euclidiana.
• B) $d = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}$Incorrecto. Faltan los cuadrados de cada diferencia.
• C) $d = \frac{(x_2 - x_1)}{(y_2 - y_1)}$Incorrecto. Ese cociente se parece al inverso de la pendiente, no a la distancia.
• D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$¡Correcto! Es el teorema de Pitágoras aplicado al plano.

Respuesta correcta: A) Tercer cuadrante

• A) Tercer cuadrante¡Correcto! Ambas coordenadas negativas ubican el punto en el tercer cuadrante.
• B) Segundo cuadranteIncorrecto. El segundo tiene abscisa negativa pero ordenada positiva.
• C) Cuarto cuadranteIncorrecto. El cuarto tiene abscisa positiva y ordenada negativa.
• D) Sobre el eje $y$Incorrecto. Estar sobre el eje $y$ exige abscisa cero.

Respuesta correcta: D) $(4, 7)$

• A) $(8, 14)$Incorrecto. Sumaste las coordenadas; el punto medio promedia.
• B) $(2, 3)$Incorrecto. Dividiste las coordenadas de $B$ entre las de $A$.
• C) $(3, 5)$Incorrecto. Dividiste cada coordenada de $B$ entre 2 sin promediar con $A$.
• D) $(4, 7)$¡Correcto! $\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+10}{2}\right) = (4, 7)$.

Respuesta correcta: D) $5$

• A) $7$Incorrecto. Sumaste las diferencias $3 + 4$; la distancia usa Pitágoras.
• B) $\sqrt{7}$Incorrecto. Sumaste sin elevar al cuadrado dentro de la raíz.
• C) $25$Incorrecto. Ese es el cuadrado de la distancia; falta la raíz.
• D) $5$¡Correcto! $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Respuesta correcta: C) $2$

• A) $\frac{1}{2}$Incorrecto. Invertiste el cociente de las diferencias.
• B) $6$Incorrecto. Ese es solo $\Delta y$; falta dividir por $\Delta x$.
• C) $2$¡Correcto! $m = \frac{5 - (-1)}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$.
• D) $-2$Incorrecto. La recta crece de izquierda a derecha: la pendiente es positiva.

Respuesta correcta: B) $y = -3$

• A) $x = 5$Incorrecto. Esa es la recta vertical que pasa por el punto.
• B) $y = -3$¡Correcto! Toda recta horizontal tiene ordenada constante.
• C) $y = 5x - 3$Incorrecto. Esa recta tiene pendiente 5, no es horizontal.
• D) $x + y = 2$Incorrecto. Es una recta oblicua, aunque el punto la verifique.

Respuesta correcta: A) $-2$

• A) $-2$¡Correcto! Las perpendiculares cumplen $m_1 \cdot m_2 = -1$: $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.
• B) $\frac{1}{2}$Incorrecto. Esa pendiente daría una recta paralela.
• C) $2$Incorrecto. Falta el cambio de signo; el producto daría $+1$.
• D) $-\frac{1}{2}$Incorrecto. Esa es la opuesta, no la recíproca opuesta.

Respuesta correcta: B) $x^2 + y^2 = 16$

• A) $x^2 + y^2 = 4$Incorrecto. El lado derecho es el radio al cuadrado: 16.
• B) $x^2 + y^2 = 16$¡Correcto! Con centro $(0,0)$, la ecuación es $x^2 + y^2 = r^2 = 16$.
• C) $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$Incorrecto. Esa circunferencia tiene centro $(4, 4)$.
• D) $x + y = 4$Incorrecto. Esa es una recta, no una circunferencia.

Respuesta correcta: C) $(3, 0)$

• A) $(0, -6)$Incorrecto. Ese es el corte con el eje $y$, no con el eje $x$.
• B) $(-3, 0)$Incorrecto. Revisá el signo al despejar: $x = 3$ positivo.
• C) $(3, 0)$¡Correcto! Con $y = 0$: $2x = 6$, $x = 3$.
• D) $(6, 0)$Incorrecto. Falta dividir entre el coeficiente 2.

Respuesta correcta: B) Rectángulo, porque los lados $AB$ y $AC$ son perpendiculares (ejes).

• A) Equilátero, porque tiene tres vértices.Incorrecto. Los lados miden 4, 3 y 5: todos distintos.
• B) Rectángulo, porque los lados $AB$ y $AC$ son perpendiculares (ejes).¡Correcto! Un lado horizontal y otro vertical se cortan en 90° en $A$.
• C) Isósceles, porque dos lados salen del origen.Incorrecto. Esos lados miden 4 y 3, distintos.
• D) Obtusángulo, porque tiene un lado largo.Incorrecto. $3^2 + 4^2 = 5^2$: es rectángulo exacto.

Respuesta correcta: B) Pendientes iguales y ordenadas al origen distintas.

• A) Pendientes cuyo producto sea $-1$.Incorrecto. Esa es la condición de perpendicularidad.
• B) Pendientes iguales y ordenadas al origen distintas.¡Correcto! Igual dirección, sin coincidir: paralelas.
• C) Pendientes iguales y ordenadas iguales.Incorrecto. En ese caso serían la misma recta (coincidentes).
• D) Pendientes opuestas.Incorrecto. Pendientes opuestas se cortan simétricamente; no son paralelas.

Respuesta correcta: C) En el exterior, porque $3^2 + 5^2 = 34 > 25$.

• A) Sobre la circunferencia.Incorrecto. $9 + 25 = 34 \ne 25$; el punto no verifica la ecuación.
• B) En el interior, porque sus coordenadas son pequeñas.Incorrecto. La suma de cuadrados supera el radio al cuadrado: es exterior.
• C) En el exterior, porque $3^2 + 5^2 = 34 > 25$.¡Correcto! La distancia al centro es $\sqrt{34} > 5$, el radio.
• D) En el centro.Incorrecto. El centro es $(0, 0)$.

Respuesta correcta: C) Centro $(2, -1)$ y radio $3$

• A) Centro $(-2, 1)$ y radio $9$Incorrecto. Los signos del centro se invierten respecto de la ecuación y el radio es la raíz de 9.
• B) Centro $(2, -1)$ y radio $9$Incorrecto. El centro está bien, pero el radio es $\sqrt{9} = 3$.
• C) Centro $(2, -1)$ y radio $3$¡Correcto! Comparando con $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$: $h = 2$, $k = -1$, $r = 3$.
• D) Centro $(1, -2)$ y radio $3$Incorrecto. Intercambiaste las coordenadas del centro.

Respuesta correcta: B) $y = 3x - 2$

• A) $y = 3x + 4$Incorrecto. Usaste la ordenada del punto como término independiente sin ajustar.
• B) $y = 3x - 2$¡Correcto! Misma pendiente 3; $4 = 3(2) + b$ da $b = -2$.
• C) $y = -\frac{1}{3}x + 4$Incorrecto. Esa pendiente corresponde a la perpendicular, no a la paralela.
• D) $y = 3x + 1$Incorrecto. Es la recta original; el punto $(2,4)$ no la verifica: $3(2)+1 = 7$.

Respuesta correcta: C) Sí, porque la pendiente entre $A$ y $B$ ($2$) es la misma que entre $B$ y $C$.

• A) No, porque las coordenadas no son proporcionales.Incorrecto. La colinealidad se mide por pendientes iguales, y aquí coinciden.
• B) Sí, porque las ordenadas son impares.Incorrecto. La paridad no es criterio de alineación, aunque aquí la conclusión sea correcta.
• C) Sí, porque la pendiente entre $A$ y $B$ ($2$) es la misma que entre $B$ y $C$.¡Correcto! $\frac{5-1}{2-0} = 2$ y $\frac{9-5}{4-2} = 2$: misma dirección, puntos colineales.
• D) No, porque $C$ no es el doble de $B$.Incorrecto. La alineación no exige proporcionalidad de coordenadas.

Respuesta correcta: D) $4$ unidades

• A) $2$ unidadesIncorrecto. Esa es la ordenada del punto; la recta es vertical y la distancia es horizontal.
• B) $\sqrt{53}$ unidadesIncorrecto. Usaste la fórmula de distancia al origen, no a la recta.
• C) $10$ unidadesIncorrecto. Sumaste coordenada y constante; la distancia es la diferencia absoluta.
• D) $4$ unidades¡Correcto! La distancia horizontal es $|7 - 3| = 4$.

Respuesta correcta: C) Un rectángulo de área 24.

• A) Un cuadrado de área 16.Incorrecto. Los lados miden 6 y 4: no son iguales.
• B) Un rombo de área 12.Incorrecto. Los lados no son todos iguales y el área es base por altura: 24.
• C) Un rectángulo de área 24.¡Correcto! Lados 6 y 4 perpendiculares: área $6 \times 4 = 24$.
• D) Un trapecio de área 20.Incorrecto. Los cuatro vértices forman lados paralelos dos a dos: es un rectángulo.

Respuesta correcta: C) $12$ unidades cuadradas

• A) $24$ unidades cuadradasIncorrecto. Olvidaste dividir entre 2: $\frac{6 \times 4}{2}$.
• B) $6$ unidades cuadradasIncorrecto. Usaste solo la base o solo la altura como área.
• C) $12$ unidades cuadradas¡Correcto! Base $6$ (sobre el eje $x$) y altura $4$: $\frac{24}{2} = 12$.
• D) $10$ unidades cuadradasIncorrecto. Sumaste base y altura; el área triangular es la mitad del producto.

Respuesta correcta: D) La calle no toca la plaza: el discriminante negativo indica que no hay intersección.

• A) La calle es tangente a la plaza en un punto.Incorrecto. La tangencia exige discriminante cero.
• B) La calle corta la plaza en dos puntos.Incorrecto. Eso requeriría discriminante positivo.
• C) La calle pasa por el centro de la plaza.Incorrecto. El centro $(0,0)$ no verifica $y = x + 6$.
• D) La calle no toca la plaza: el discriminante negativo indica que no hay intersección.¡Correcto! Sin soluciones reales, la recta pasa por fuera de la circunferencia.