Tema W11

Respuesta correcta: D) 3

• A) 4Incorrecto. El 4 es el coeficiente principal, no el exponente máximo de la variable.
• B) 2Incorrecto. El término de grado 2 existe, pero no es el exponente más alto del polinomio.
• C) -9Incorrecto. -9 es el término independiente, no el grado.
• D) 3¡Correcto! El grado es el mayor exponente de $x$ con coeficiente distinto de cero, que es 3.

Respuesta correcta: A) $x = 2, -5, 1$

• A) $x = 2, -5, 1$¡Correcto! Se iguala cada factor a cero: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$, $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$, $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
• B) $x = -2, 5, -1$Incorrecto. Confundiste los signos de los factores $(x - a)$.
• C) $x = 2, 5, 1$Incorrecto. Para el factor $(x + 5)$, la raíz es $x = -5$.
• D) $x = 10$Incorrecto. Multiplicaste las constantes en lugar de hallar los ceros de cada factor.

Respuesta correcta: B) $f'(x) = 4x^3$

• A) $f'(x) = 4x^4$Incorrecto. Olvidaste restar 1 al exponente.
• B) $f'(x) = 4x^3$¡Correcto! La regla establece que $\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$, por lo que $\frac{d}{dx}[x^4] = 4x^3$.
• C) $f'(x) = x^3$Incorrecto. Olvidaste multiplicar por el exponente original $n = 4$.
• D) $f'(x) = 3x^4$Incorrecto. Intercambiaste el coeficiente con el nuevo exponente.

Respuesta correcta: A) $g'(x) = 0$

• A) $g'(x) = 0$¡Correcto! La tasa de cambio de una función constante es siempre cero.
• B) $g'(x) = 15$Incorrecto. La constante no cambia con $x$, por lo que su derivada no es ella misma.
• C) $g'(x) = 1$Incorrecto. 1 es la derivada de $x$, no de una constante sola.
• D) $g'(x) = 15x$Incorrecto. Esa es la antiderivada (o primitiva), no la derivada.

Respuesta correcta: B) $v(t) = 6t + 2$

• A) $v(t) = 3t + 2$Incorrecto. La derivada de $3t^2$ es $2 \cdot 3t = 6t$, no $3t$.
• B) $v(t) = 6t + 2$¡Correcto! $s'(t) = 3(2t) + 2(1) - 0 = 6t + 2$.
• C) $v(t) = 6t - 5$Incorrecto. La derivada de la constante -5 es 0, y la de $2t$ es 2.
• D) $v(t) = 3t^2 + 2$Incorrecto. No derivaste el primer término $3t^2$.

Respuesta correcta: B) 20

• A) 8Incorrecto. Evaluaste mal los exponentes al calcular $6(2)^2 - 4$.
• B) 20¡Correcto! $f'(x) = 6x^2 - 4$. Evaluando en $x=2$: $f'(2) = 6(2^2) - 4 = 6(4) - 4 = 20$.
• C) 24Incorrecto. Olvidaste restar 4 al evaluar $6(4)$.
• D) 9Incorrecto. Evaluaste la función original $f(2)$ en lugar de su derivada $f'(2)$.

Respuesta correcta: B) $x = 4$

• A) $x = 8$Incorrecto. Confundiste el coeficiente de $x$ con la solución de $2x - 8 = 0$.
• B) $x = 4$¡Correcto! $f'(x) = 2x - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$.
• C) $x = 2$Incorrecto. $x = 2$ es una raíz de $f(x)$, no la raíz de su derivada $f'(x)$.
• D) $x = -4$Incorrecto. Error de signo al despejar $2x = 8$.

Respuesta correcta: D) $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

• A) $u'(x) \cdot v'(x)$Incorrecto. La derivada del producto NO es el producto de las derivadas.
• B) $u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)$Incorrecto. Ese signo negativo aparece en la regla del cociente.
• C) $\frac{u'(x)}{v'(x)}$Incorrecto. Esta no es la regla del producto.
• D) $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$¡Correcto! Es la regla de Leibniz para la derivada de un producto.

Respuesta correcta: C) $g'(x) = 4x - 5$

• A) $g'(x) = 2$Incorrecto. Solo derivaste el primer factor sin considerar la interacción con el segundo.
• B) $g'(x) = 4x + 1$Incorrecto. Error en el signo del término lineal al expandir o al aplicar la regla del producto.
• C) $g'(x) = 4x - 5$¡Correcto! Desarrollando $g(x) = 2x^2 - 5x - 3$, su derivada es $4x - 5$.
• D) $g'(x) = 2x - 5$Incorrecto. Derivaste $2x^2$ como $2x$ en lugar de $4x$.

Respuesta correcta: B) $(3, +\infty)$

• A) $(-\infty, 3)$Incorrecto. En este intervalo $f'(x) = 2x - 6 < 0$, por lo que es decreciente.
• B) $(3, +\infty)$¡Correcto! La derivada es $f'(x) = 2x - 6$. $f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x > 6 \Leftrightarrow x > 3$.
• C) $(-\infty, 5)$Incorrecto. 5 es una raíz de $f(x)$, no el punto donde cambia el signo de la derivada.
• D) $(1, 5)$Incorrecto. Ese es el intervalo donde la función es negativa, no necesariamente creciente.

Respuesta correcta: C) 6

• A) 0Incorrecto. 0 es la velocidad $s'(2) = 6(4) - 36 + 12 = 0$, no la aceleración.
• B) 12Incorrecto. Evaluaste solo el primer término $12t$ de la segunda derivada sin restar 18.
• C) 6¡Correcto! $s'(t) = 6t^2 - 18t + 12$, luego $s''(t) = 12t - 18$. Para $t=2$: $12(2) - 18 = 6$.
• D) -6Incorrecto. Error de signo en la resta $24 - 18$.

Respuesta correcta: D) $h'(x) = 24x(3x^2 + 1)^3$

• A) $h'(x) = 4(3x^2 + 1)^3$Incorrecto. Olvidaste multiplicar por la derivada de la función interna $(3x^2 + 1)' = 6x$.
• B) $h'(x) = 12x(3x^2 + 1)^3$Incorrecto. Derivaste $3x^2$ como $3x$ en lugar de $6x$.
• C) $h'(x) = 24x^2(3x^2 + 1)^3$Incorrecto. Multiplicaste por $6x^2$ en lugar de $6x$.
• D) $h'(x) = 24x(3x^2 + 1)^3$¡Correcto! Por regla de la cadena: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot (6x) = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Respuesta correcta: B) $x = 2$

• A) $x = 1$Incorrecto. $x = 1$ es un máximo relativo (donde $f'(1) = 0$).
• B) $x = 2$¡Correcto! La segunda derivada es $f''(x) = 6x - 12$. Igualando a cero: $6x = 12 \Rightarrow x = 2$.
• C) $x = 3$Incorrecto. $x = 3$ es un mínimo relativo.
• D) $x = 6$Incorrecto. Valor tomado del coeficiente de $x^2$.

Respuesta correcta: A) $y = 5x - 1$

• A) $y = 5x - 1$¡Correcto! $f(1) = 4$, $f'(x) = 2x + 3 \Rightarrow f'(1) = 5$. Recta: $y - 4 = 5(x - 1) \Rightarrow y = 5x - 1$.
• B) $y = 5x + 4$Incorrecto. Sumaste la ordenada al origen en lugar de resolver $y - 4 = 5(x - 1)$.
• C) $y = 2x + 3$Incorrecto. Confundiste la recta tangente con la función derivada $f'(x)$.
• D) $y = 4x + 1$Incorrecto. Usaste la ordenada $y=4$ como pendiente en lugar de $f'(1)=5$.

Respuesta correcta: C) $z = 3 - 2i$

• A) $z = -3 + 2i$Incorrecto. La conjugación afecta la parte imaginaria, no la parte real.
• B) $z = -3 - 2i$Incorrecto. Cambiaste ambos signos; solo la parte imaginaria debe cambiar de signo.
• C) $z = 3 - 2i$¡Correcto! Por el Teorema de las Raíces Complejas Conjugadas, las raíces no reales aparecen en pares conjugados.
• D) $z = 2 + 3i$Incorrecto. Intercambiaste las partes real e imaginaria.

Respuesta correcta: A) 7

• A) 7¡Correcto! Por el Teorema del Resto: $R = P(2) = 2(2^3) - 3(2^2) + 4(2) - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$.
• B) 3Incorrecto. Evaluaste $P(1)$ o cometiste un error aritmético al aplicar Ruffini.
• C) 11Incorrecto. Error de cálculo en la combinación de sumas y restas de $16 - 12 + 8 - 5$.
• D) -5Incorrecto. -5 es el término independiente, no el resto de la división por $(x-2)$.

Respuesta correcta: C) $x = 2\text{ cm}$

• A) $x = 3\text{ cm}$Incorrecto. Evaluando $V(3) = 3(6)^2 = 108$, mientras que $V(2) = 2(8)^2 = 128$.
• B) $x = 4\text{ cm}$Incorrecto. $V(4) = 4(4)^2 = 64 < 128$.
• C) $x = 2\text{ cm}$¡Correcto! $V(x) = x(12-2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x$. $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ o $x = 6$. Como $x<6$, el máximo es $x = 2$.
• D) $x = 6\text{ cm}$Incorrecto. Si $x = 6$, las dimensiones de la base se reducen a 0, dando un volumen nulo.

Respuesta correcta: C) $c = 2$

• A) $c = 1.5$Incorrecto. La tasa media de cambio es 4, por lo que $2c = 4 \Rightarrow c = 2$.
• B) $c = 2.5$Incorrecto. $f'(2.5) = 5 \neq 4$.
• C) $c = 2$¡Correcto! Tasa de cambio: $\frac{9 - 1}{2} = 4$. Como $f'(x) = 2x$, se tiene $2c = 4 \Rightarrow c = 2$.
• D) $c = \sqrt{3}$Incorrecto.Confundiste el valor medio de la derivada con la media geométrica.

Respuesta correcta: C) $f'(x)$ es una función impar (satisface $f'(-x) = -f'(x)$).

• A) $f'(x)$ es una función par (satisface $f'(-x) = f'(x)$).Incorrecto. Al derivar cambia la paridad debido al signo negativo de la regla de la cadena.
• B) $f'(x)$ es necesariamente idénticamente nula.Incorrecto. La constante es par y su derivada es nula, pero $x^2$ es par y su derivada $2x$ no es nula.
• C) $f'(x)$ es una función impar (satisface $f'(-x) = -f'(x)$).¡Correcto! Derivando $f(-x) = f(x)$ mediante regla de la cadena se obtiene $-f'(-x) = f'(x) \Rightarrow f'(-x) = -f'(x)$.
• D) $f'(x)$ no está definida en $x = 0$.Incorrecto. Si $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$, $f'(0)$ existe y de hecho $f'(0) = 0$.

Respuesta correcta: D) Exactamente 1 raíz real.

• A) 3 raíces reales.Incorrecto. Si tuviera 3 raíces reales, $P'(x)$ debería anularse al menos 2 veces, pero $5x^4 + 4 > 0$.
• B) 5 raíces reales.Incorrecto. Un polinomio de grado 5 tiene hasta 5 raíces en $\mathbb{C}$, pero aquí solo 1 es real.
• C) Ninguna raíz real.Incorrecto. Como es de grado impar (5), por el Teorema de Bolzano / TVI tiene al menos una raíz real.
• D) Exactamente 1 raíz real.¡Correcto! $P'(x) = 5x^4 + 4 > 0$ para todo $x$. Como $P'(x)$ nunca se anula, por el Teorema de Rolle no puede tener 2 o más raíces reales. Por el TVI posee al menos una.