Tema W12

Respuesta correcta: D) $\pi\text{ rad}$

• A) $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$Incorrecto. $\frac{\pi}{2}$ equivale a $90^\circ$.
• B) $2\pi\text{ rad}$Incorrecto. $2\pi\text{ rad}$ equivale a una vuelta completa ($360^\circ$).
• C) $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$Incorrecto. $\frac{\pi}{4}$ equivale a $45^\circ$.
• D) $\pi\text{ rad}$¡Correcto! La equivalencia fundamental es $180^\circ = \pi\text{ rad}$.

Respuesta correcta: A) $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$

• A) $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$¡Correcto! Es la identidad pitagórica trigonométrica fundamental derivada del Teorema de Pitágoras en el círculo unitario.
• B) $\sin(\theta) + \cos(\theta) = 1$Incorrecto. La suma de las funciones sin elevar al cuadrado no es constante 1.
• C) $\sin^2(\theta) - \cos^2(\theta) = 1$Incorrecto. $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = \cos(2\theta)$, no 1.
• D) $\tan^2(\theta) + 1 = \sin^2(\theta)$Incorrecto. La identidad correcta con tangente es $\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$.

Respuesta correcta: A) $\frac{1}{2}$

• A) $\frac{1}{2}$¡Correcto! $\sin(30^\circ) = 0.5$.
• B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. Ese es el valor de $\cos(30^\circ)$ o $\sin(60^\circ)$.
• C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. Ese es el valor de $\sin(45^\circ)$.
• D) $1$Incorrecto. Ese es el valor de $\sin(90^\circ)$.

Respuesta correcta: C) Primer cuadrante (I)

• A) Segundo cuadrante (II)Incorrecto. En el II cuadrante el coseno es negativo ($x < 0$).
• B) Tercer cuadrante (III)Incorrecto. En el III cuadrante tanto seno como coseno son negativos.
• C) Primer cuadrante (I)¡Correcto! En el I cuadrante, $x > 0$ y $y > 0$, luego $\cos(\theta) > 0$ y $\sin(\theta) > 0$.
• D) Cuarto cuadrante (IV)Incorrecto. En el IV cuadrante el seno es negativo ($y < 0$).

Respuesta correcta: A) $\frac{3}{4}$

• A) $\frac{3}{4}$¡Correcto! $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
• B) $\frac{4}{3}$Incorrecto. Invertiste la relación $\frac{\cos}{\sin}$; esa es la cotangente.
• C) $\frac{5}{3}$Incorrecto. Esa es la cosecante $\frac{1}{\sin(\theta)}$.
• D) $\frac{12}{25}$Incorrecto. Multiplicaste seno y coseno en lugar de dividirlos.

Respuesta correcta: A) $\pi$

• A) $\pi$¡Correcto! El período de $\sin(kx)$ es $T = \frac{2\pi}{k}$. Para $k=2$, $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• B) $2\pi$Incorrecto. $2\pi$ es el período de la función seno básica $\sin(x)$.
• C) $4\pi$Incorrecto. Multiplicaste por $k$ en lugar de dividir.
• D) $\frac{\pi}{2}$Incorrecto. Dividiste entre $k^2$ o cometiste un error de cálculo.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2}$

• A) $1$Incorrecto. Sumaste las fracciones en lugar de restarlas.
• B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. Repetiste el valor de $\cos(\theta)$.
• C) $\frac{1}{2}$¡Correcto! $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• D) $0$Incorrecto. La resta $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ da $\frac{1}{2}$, no 0.

Respuesta correcta: A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$

• A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$¡Correcto! El seno es positivo en el I y II cuadrante, $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
• B) $x = \frac{\pi}{6}$ solamenteIncorrecto. Existe una segunda solución en el segundo cuadrante.
• C) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{2\pi}{3}$Incorrecto. Para estos ángulos el seno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• D) $x = \frac{7\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$Incorrecto. En el III y IV cuadrante el seno es negativo ($-\frac{1}{2}$).

Respuesta correcta: A) $10\sqrt{2}\text{ cm}$

• A) $10\sqrt{2}\text{ cm}$¡Correcto! Por ley de senos $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{10}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2} \Rightarrow 20 = \frac{2b}{\sqrt{2}} \Rightarrow b = 10\sqrt{2}$.
• B) $10\text{ cm}$Incorrecto. Lados opuestos a ángulos distintos tienen longitudes distintas.
• C) $5\sqrt{2}\text{ cm}$Incorrecto. Olvidaste multiplicar por 2 al despejar la proporción.
• D) $20\text{ cm}$Incorrecto. $20$ es el valor del diámetro del círculo circunscrito $\frac{a}{\sin A}$, no de $b$.

Respuesta correcta: D) $\sqrt{19}$

• A) 4Incorrecto. 4 sería si el triángulo fuera rectángulo ($3^2+4^2=5^2$), pero $A = 60^\circ$.
• B) $\sqrt{34}$Incorrecto. Olvidaste el término de la resta $-2bc \cos A$.
• C) 19Incorrecto. 19 es $a^2$, falta extraer la raíz cuadrada.
• D) $\sqrt{19}$¡Correcto! $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 9 + 25 - 2(3)(5)(0.5) = 34 - 15 = 19 \Rightarrow a = \sqrt{19}$.

Respuesta correcta: D) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

• A) $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$Incorrecto. Olvidaste que los denominadores al multiplicar $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\frac{1}{2}$ dan 4.
• B) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$Incorrecto. Esa es la fórmula para $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ)$.
• C) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$Incorrecto. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$, no $\sqrt{3}$.
• D) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$¡Correcto! $\sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Respuesta correcta: D) $\tan(x)$

• A) $\cos(x)$Incorrecto. $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$, al simplificar queda $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$.
• B) $\cot(x)$Incorrecto. La cotangente es $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.
• C) $\sin(x)$Incorrecto. Olvidaste el factor $\cos(x)$ en el denominador.
• D) $\tan(x)$¡Correcto! Sustituyendo $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$, la fracción queda $\frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$

• A) $x = k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$Incorrecto. Esos son los ceros de la tangente, donde $\sin(x) = 0$.
• B) $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$Incorrecto. En $\frac{\pi}{4}$ la tangente vale 1 y es perfectamente continua.
• C) $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$¡Correcto! La tangente no está definida donde $\cos(x) = 0$, que ocurre en los múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$.
• D) $x = 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$Incorrecto. En los múltiplos pares de $\pi$, la tangente vale 0.

Respuesta correcta: B) 5

• A) 7Incorrecto. La suma simple de coeficientes $3 + 4 = 7$ solo se alcanzaría si ambos picos coincidieran, lo cual no ocurre.
• B) 5¡Correcto! La combinación $a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ se puede expresar como $R\sin(\theta + \phi)$, con $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
• C) 1Incorrecto. 1 es la amplitud de las funciones básicas sin escalar.
• D) 12Incorrecto. Multiplicaste los coeficientes $3 \times 4$ en lugar de usar la suma pitagórica.

Respuesta correcta: C) 3 soluciones

• A) 1 soluciónIncorrecto. Hay más de una solución en la primera vuelta.
• B) 2 solucionesIncorrecto. Olvidaste la solución correspondiente a $\cos(x) = 1$ o una de las de $-\frac{1}{2}$.
• C) 3 soluciones¡Correcto! Factorizando $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \Rightarrow \cos x = 1$ (1 solución: $0$) o $\cos x = -\frac{1}{2}$ (2 soluciones: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$). Total = 3.
• D) 4 solucionesIncorrecto. $\cos(x) = 1$ solo aporta una solución en $[0, 2\pi)$, que es $x = 0$.

Respuesta correcta: C) $A = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(C)$

• A) $A = a \cdot b \cdot \sin(C)$Incorrecto. Olvidaste el factor $\frac{1}{2}$.
• B) $A = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \cos(C)$Incorrecto. La altura utiliza la función seno, no coseno.
• C) $A = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(C)$¡Correcto! La altura correspondiente al lado $a$ es $h = b \sin C$, por lo que Área $= \frac{1}{2} \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} a b \sin C$.
• D) $A = \frac{a^2 + b^2}{2} \sin(C)$Incorrecto. Es el producto de los lados $a \cdot b$, no la suma de sus cuadrados.

Respuesta correcta: D) $50\sqrt{19}\text{ m}$

• A) $250\text{ m}$Incorrecto. Sumaste directamente las distancias $100 + 150$, lo que violaría la desigualdad triangular.
• B) $50\sqrt{7}\text{ m}$Incorrecto. Usaste $\cos(120^\circ) = +0.5$ en lugar de $-0.5$.
• C) $100\sqrt{3}\text{ m}$Incorrecto. Error de cálculo en la aplicación del coseno de ángulo obtuso.
• D) $50\sqrt{19}\text{ m}$¡Correcto! $BC^2 = 100^2 + 150^2 - 2(100)(150)\cos(120^\circ) = 10000 + 22500 - 30000(-0.5) = 32500 + 15000 = 47500 \Rightarrow BC = \sqrt{47500} = 50\sqrt{19}$.

Respuesta correcta: A) $\frac{\sqrt{3}}{8}$

• A) $\frac{\sqrt{3}}{8}$¡Correcto! Usando $\cos(\theta)\cos(60^\circ-\theta)\cos(60^\circ+\theta) = \frac{1}{4}\cos(3\theta)$ con $\theta = 10^\circ$: $\frac{1}{4}\cos(30^\circ) = \frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
• B) $\frac{1}{4}$Incorrecto. Se requiere aplicar la identidad $\cos(\theta)\cos(60^\circ-\theta)\cos(60^\circ+\theta) = \frac{1}{4}\cos(3\theta)$.
• C) $\frac{1}{8}$Incorrecto. Olvidaste multiplicar por $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• D) $\frac{\sqrt{3}}{4}$Incorrecto. Faltó dividir entre 2 adicionalmente.

Respuesta correcta: B) $\pi$

• A) $\frac{\pi}{2}$Incorrecto. $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, y la suma de los tres términos supera $\frac{\pi}{2}$.
• B) $\pi$¡Correcto! $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. Usando la fórmula de la suma para $\arctan(2) + \arctan(3) = \pi + \arctan\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \arctan(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Sumando $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$.
• C) $\frac{3\pi}{2}$Incorrecto. Sobreestimaste el valor de las arcotangentes.
• D) $2\pi$Incorrecto. $2\pi$ corresponde a una vuelta completa en radianes.